0445

447

§ 5. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

i równość, którą mamy udowodnić, napiszemy tak:

lim ^ c„(cos «0_o+i sin n 9₀) r" =    c„(cos n0_o+i sin nd₀) R" .

i>-0    n-0

Jeżeli włączymy czynniki w nawiasach do współczynników szeregu, to zagadnienie sprowadzi się do roz patrzonego już przypadku.

Teraz, nie opierając się na ogólnym twierdzeniu o różniczkowaniu szeregów, udowodnimy bezpośrednio, że wewnątrz kola zbieżności szereg potęgowy można różniczkować wyraz za wyrazem, tzn. że jeżeli dla |r|</f jest

f(z) = c„ z", to /'(z) = £ nc„ z"-' .

a-0    u-1

Zauważmy przede wszystkim, że promień zbieżności tego ostaniego szeregu jest też równy R, o czym możemy się łatwo przekonać na przykład z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda.

Ustalmy sobie punkt z₀, |z₀|</ł. Mamy

(2)    = V c.    = V c.(z*-‘+ro z"-² + ... -t-zj-*) .

2—Z₀    2—Z₀    Z—I

i»-l    a-l

Jeśli weźmiemy p pomiędzy |z₀| a R, to możemy przyjąć także, że |z| <p i wtedy k.(z*^-1+r₀ z“~²+ ... +zS^_1)| < łf|c«|-P"^_l •

CO

Szereg £ n |c.) pf~^l jest zbieżny, gdyż p jest mniejsze od R, a R jest także, jak to pokazaliśmy, promieniem 1

00

zbieżności szeregu £ nc„z"~^l. Stosując kryterium WeierstraSsa wnioskujemy stąd o zbieżności szeregu (2).

i

W szeregu tym możemy dla z -*■ z₀ przejść do granicy wyraz za wyrazem, co doprowadzi już do żądanego wyniku.

Już stąd wynika, że twierdzenie 8 i 9 z ustępu 438 można także przenieść bez zmian na przypadek zmiennej zespolonej.

Tak więc suma szeregu potęgowego jest wewnątrz koła zbieżności ciągła wraz ze wszystkimi pochodnymi. Innymi słowy, przy rozwijaniu funkcji w szereg według potęg z, odległość od początku do najbliższego punktu nieciągłości funkcji (lub którejś z jej pochodnych) jest naturalnym ograniczeniem promienia zbieżności tego rozwinięcia.

W przypadku szeregu

1 —z+z²— ... +(-U"z"+ ... = —

1+z

punktem takim jest z = — 1. Leży on na osi rzeczywistej. Dlatego też już poprzednio widzieliśmy, że promień zbieżności rozwinięcia funkcji 1/(1 +z) nie może być większy niż jeden. Inaczej wygląda sprawa z szeregiem

1

1+z² ‘

l-z^J + z*- ... +(-l)’z²*-l-

Suma jego ma punkty nieciągłości z — ± i na osi urojonej odległe o 1 od początku. Gdy znajdowaliśmy się na osi rzeczywistęj, na której funkcja 1 /(I + x²) jest ciągła wraz ze wszystkimi pochodnymi, nie mogliśmy objaśnić, dlaczego promień zbieżności jej rozwinięcia jest równy 1.

Podobne przykłady, w których przejście do dziedziny zespolonej pomaga wykryć istotne przyczyny różnych osobliwości rozwinięcia funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej spotykamy jeszcze później.

Na zakończenie wspomnimy, że wszystkie reguły [445] działań na szeregach potęgowych: twierdzenie o podstawieniu szeregu do szeregu [446], o dzieleniu szeregów [448] i wreszcie o odwróceniu szeregu potęgowego [451] zachowują tutąj też swą moc, a ich dowody, mające charakter formalny, można w zupełności przenieść do teorii szeregów potęgowych zespolonych.