0441

443

§ 5. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej

do sumy C = A + Bi jest równoważna ze zbieżnością dwóch szeregów liczb rzeczywistych

(A) f] a, i (B) f] b.

»■ 1    n«I

odpowiednio do sum A i B.

Twierdzenie to jest oczywiście tylko innym sformułowaniem twierdzenia, udowodnionego poprzednio dla ciągów.

Udowodnimy teraz twierdzenie analogiczne do twierdzenia z ustępu 377.

Jeżeli jest zbieżny szereg

(C*>    |r.|

Na* l

utworzony z modułów wyrazów szeregu (C), to ten ostatni szereg też jest zbieżny.

Rzeczywiście, z uwagi na oczywiste nierówności

£} <^kj - . zbieżność szeregu (C*) pociąga za sobą zbieżność obu szeregów

f>i i i>.

Ra1    fl-1

Stąd [377] wynika, że szeregi (A) i (B) też są zbieżne, a więc na mocy poprzedniego twierdzenia, zbieżny jest także szereg (C).

Jeżeli szereg (C*) jest zbieżny, to szereg (C) nazywamy bezwzględnie zbieżnym. Zauważmy, że wtedy jak już widzieliśmy, szeregi (A) i (B) też są bezwzględnie zbieżne.

Dzięki temu twierdzeniu kryterium d'Alemberta [377] zachowuje moc także w przypadku szeregów zespolonych.

Twierdzenie z ustępu 387 o przestawieniu wyrazów szeregu i reguła mnożenia szeregów wyraz za wyrazem z ustępu 389 także przenoszą się na przypadek bezwzględnie zbieżnych szeregów liczb zespolonych. W pierwszym przypadku dowód przeprowadzamy przez sprowadzenie do szeregów liczb rzeczywistych, a w drugim możemy w zasadzie zachować poprzedni dowód.

Wreszcie w analogiczny sposób przenosimy na przypadek liczb zespolonych zasadnicze pojęćia i twierdzenia z teorii szeregów podwójnych.

455. Funkcje zmiennej zespolonej. Niech zmienna zespolona z » x+yi przyjmuje dowolne wartości z pewnego zbioru Z = {z}, który interpretujemy geometrycznie jako obszar (otwarty lub nie) na płaszczyźnie zespolonej. Jeżeli każdej wartości z z obszaru £ przyporządkowana jest jedna lub kilka wartości innej zmiennej zespolonej w = u+vi, to tę ostatnią nazywamy (odpowiednio jednoznaczną lub wieloznaczną) funkcją zmiennej z w obszarze £ i piszemy:

w = /(z) lub w = g (z), itp.

Przykładami funkcji jednoznacznych, i to na całej płaszczyźnie zespolonej, będą |z|, z" lub w ogóle funkcja całkowita wymierna tzn. wielomian

Co z"+Ci z"-‘+ ... +C„-1 z + c,

o dowolnych współczynnikach zespolonych c₀, c,.....r„. Funkcja wymierna ułamkowa, tzn. nieskracalny

iloraz dwóch wielomianów, jest także określona jednoznacznie na całej płaszczyźnie, lecz w punktach odpowiadających pierwiastkom mianownika jest ona nieskończona. Przykładami funkcji niejednoznacznych będą Arg z, j/z. Dalej w ustępach 457-460 zbadamy inne ważne funkcje zmiennej zespolonej.