00098493

276 ID. FUNKCJE ZMIENNE) ZESPOLONE)

Na rys. HI U jest przedstawiona interpretacja geometryczna okresowości funkcji e*. Wykażemy, że katdy okres p funkcji e* ma postać 2nkj, gdzie k jest stosownie dobraną liczbą całkowitą różną od /era.

i-inj i,

Rys. 111.14

Przypuśćmy, ie dla każdego z jest spełniona równość e*^ł'=eF

Wynika stąd, ie e* = 1, a więc na podstawie równoważności (III.79) mamy p = 2nkj, gdzie k oznacza dowolną liczbę całkowitą. Wykluczając k — 0 (wartość ta daje P = 0) stwierdzamy zatem, że liczba p ma postać 2nkj, przy czym k jest pewną liczbą całkowitą różną od 0.

Okresem funkcji e* jest więc każda liczba 2idej{k oznacza dowolną liczbę całkowitą różną od zera) i tylko taka Liczba.

Logarytmowanic w dziedzinie zespolonej

Def. Logarytm naturalny liczby z jest to każda liczba zespolona w spełniająca warunek

e" = z    (111.82)

Jeżeli równość (IH.82) jest prawdziwa, to piszemy

w = Ln z    .    (111.81)

Z uwagi na okresowość funkcji wykładniczej zmiennej zespolonej, logarytm naturalny Lnz nie jest określony jednoznacznie. Symbol Lnz (duże L) oznacza więc nie jedną liczbę, lecz zbiór wszystkich liczb w takich, które spełniają równość (III.82).

Logarytm liczby 0 nie istnieje (por. zad. 18, p. 7 tego rozdz.).

Niech z ? 0. Oznaczmy

w = uĄ-jo, z =» |z|e^,"^r|'

Wobec (111.82) mamy

e- = e"⁺ⁱ’ = eV = |z]e-'*^r“

c*=|z>, czyli u = ln|z|

więc

v = argz+2uś:

gdzie k oznacza dowolną liczbę całkowitą.

Stąd

Lnr = In |z|+j'(argz+2jtfc)    flll.Ml

Widzimy zatem, że każda liczba zespolona z 7* 0 raa nieskończenie wiele (przeliczalnie wiele) logarytmów naturalnych. Każde dwa różne spośród nich mają jednakową część rzeczywistą ln]z|, różnią się natomiast o całkowitą wielokrotność liczby urojonej 2r.J.

Przyjmując we wzorze (111.84) k <= 0, dostajemy jedną z wartości Lnz, zwaną logarytmem głównym i oznaczaną symbolem lnz (malc 1). Mamy więc

lnz = ln|z|+/argz    (HUS)

Zwróćmy uwagę, że we wzorze (111.85) na logarytm główny występuje argument główny (argz).

Przykład 1

Lnfl +» — Lii ^2e ⁵ - In    +2nkj, A - 0, ± I, ±3.....zaś logarytm główny

Ind +y)-ln

Prok lad 2

zaś

Przykład 3

zaś

Ln(-l) = Lo&P^, = y(it+2irt), * = 0, ±t,*2....

In(-l) —y«

Lny= Lne^=>(y+2**).    * — 0. ±1. 12,...

1aJ = Jj

Przykład 4

zaś

Ln 1 - Lu t> » =■ j2nk, * - 0, 11, ±2. ... In 1 - 0

Funkcja wieloznaczna w = Ł*z. Przyporządkowanie w - Lnz, określone na całej płaszczyźnie otwartej z wyjątkiem punktu 1 = 0, jest funkcją nieskończenie (przeliczalnie) wieloznaczną, gdyż po prawej stronie wzoru OH.84) można podstawić w miejsce k dowolną liczbę całkowitą. Ponieważ

Lnz = In|z|+/Argz