00098519

326    HI. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

nej, w sposób przedstawiony schematycznie na rys. IH.44. Może się przy tym o¹ że kolejne przedłużenie analityczne ma w pewnym punkcie płaszczyzny wartoSi niż funkcja wyjściowa /(z). Oznacza to, te za pomocą przedłużeń anaJityi—v można otrzymać z funkcji holomorficznej funkbję wieloznaczną. Tak będzte wówczas, gdy za /(z) przyjmiemy funkcję Inr w półpłaszczyźme x > 0 lub stosownie dobraną gałąź jednoznaczną funkcji wieloznacznej.

Def. Pełną funkcją analityczną nazywamy funkcję holomorficzną wraz wszystkimi jej przedłużeniami analitycznymi.

Zgodnie z tym co powiedzieliśmy ostatnio, pełna funkcja analityczna możą wieloznaczna.

Na przykład funkcje:

r*, rinz, cotz, e*, Lnx

są to wszystko pełne funkcje analityczne. Dwie ostatnie nie są jednoznaczne.

Termin pełna funkcja analityczna ma więc mną, bogatszą treść niż termin/i. analityczna w obszarze, który—jak wiemy — oznacza po prostu funkcję i morficzną (a więc jednoznaczną) w tym obszarze.

Puakty zerowe funkcji holomorficznej. Jeżeli Jfaj) = 0, to Zo ’

punktem zerowym funkcjijT[z). Przypuśćmy, że J{z) jest funkcją holomorficzną W . nym obszarze D oraz że z₀ e D. Dla każdego z należącego do pewnego otoczą' punktu z₀ prawdziwe jest wówczas rozwinięcie funkcji/{z) w szereg Taylora, /(z) = a_B+dł(ź-z#)+Uj(3r-żo)²+ —

Ponieważ a₀ =f(z₀), więc gdy z₀ jest punktem zerowym funkcji J\z), to «o == Jeżeli przy tym a, f 0, to z„ nazywamy punkiem zerowym pojedynczym, jeżeli tomiast a₀ = a_t = ... =a*_i i a, * 0, to z_p nazywamy punktem zerowym kJcj~‘ Rozwinięcie (111.155) ma w tym przypadku postać /(z) - (z-ZoY<p(z)

!. SZEREG TAYLORA

327

przy czym

y(z) = Oł+a* * i (z-z₀)+a» ₁1 (z-z₀)*+ -

jest funkcją holomorficzną w otoczeniu £> punktu z₀, a -więc cięg/ą, i ponadto ę,(r₀) = a_k # 0. Wynika stąd, ieę(ż) ? O w pewnym otoczeniu punktu z₀, zatem punkt z₀ jest jedynym punktem zerowym funkcji/t?) w tym otoczeniu.

Zauważmy następnie, ie jeżeli wszystkie współczynniki w rozwinięciu (111.155) są równe zeru, to funkcja /(z) jest w otoczeniu Q równa tożsamościowo zeru i na odwrót (ponieważ rozwinięcie w szereg Taylora jest jednoznaczne). Okazuje się, że w tym przypadku funkcja/fz) jest równa tożsamoiciowo zera w całym obszarze D, w któryfn jest holomorficzna.

Fakt len można uzasadni następująco. Niech z, będzie dowolnym punktem obszaru D. punkt co łączymy z punktem z, łamaną L = D. Niech r oznacza liczbę dodatnią tak małą, żeby każde koło domknięte o środku na łamanej i i promieniu r leżało w obszarze D. Wybieramy następnie na łamanej i punkt z.efii tworzymy otoczenie Q,(z,j r). Ponieważ dli każdego całkowitego _n> omamy /t*»(n)= 0. *•«<: rozwinięcie funkqi/(z) wszerz Tayloraw otoczeniu Q, jest postaci f(₂) = 0. Wynika stąd, że funkcja /(i) jest tożsamościowe równa zeru w otoczeniu Q,. Następnie wybieramy na łamanej L punkt    tworzymy otoczenia Q₂(z₃; r) i powtarzamy całe rozumo

wanie. W ten sposób konstruujemy ciąg otoczeń

Qi(*U'),    r),..., e,(z,i r)

o środkach ii.Zt,..., Zj na łamanej L i o wspólnym promieniu r (rys. m.45). Kolejno wykazujemy, że w każdym z tych otoczeń fUnk<3a/(z) jest równa lożsamo&iowo zeru. Jeżeli g jest liczbą dostatecznie dużą, to z, 6 G^z, I r), a więc/CzJ - 0- Ponieważ punkt z, był dowolnie wybrany w obszarze D, więc funkcja /(z) jest tożsamościowa równa zeru w całym tym obszarze.    •

jeżeli więc funkcja/Cr) jest holomorficzna w obszarze D i równa tożsamoiciowo zeru w otoczeniu punktu z, e D, to jest równa tożsamośdowo zeru w całym obszarze D.

Dowiedliśmy zatem następującego ważnego lematu.