str010 (5)

10 . ELEMENTY TEORU FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

(1)

Rozwiązanie, a) Oznaczamy przez W„ wyraz ogólny danego szeregu. Mamy wtedy

cos n + i sin n

W.=

Biorąc we wzorze (1) obustronnie moduł mamy

(2)

cos n + i sin n

|cos« + i'sinn| Vcos²n + sin²n 1

.2 •

1

Ponieważ szereg £ -= jest zbieżny, to z uwagi na (2) zgodnie z kryterium porównawczym n= \ H

rozważany szereg jest bezwzględnie zbieżny.

b) Oznaczamy przez W_n wyraz ogólny danego szeregu. Mamy wtedy

(3)

Stąd otrzymujemy kolejno

vV„l =

2 — i y

3 J

(V4+l)" /V 5V

2—i	n^2	2 —i	■ |2 —ij°
3		3	3"

3"

<rh

<1.

Wobec tego na mocy kryterium Cauchy’ego rozważany szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Zadania do rozwiązania

1. Zbadać zbieżność i podać granicę z₀ (o ile istnieje) następujących ciągów:

b) z„ = 1 + ( — l)"/, c)z_n = n+—₂,

n

a) z« = 2 + — ,

n

2—i

d) z_n =-,

n

2"

e) z_H=- + i,

IV.

2n — l+2ni    3 n

g) = ---t:— , h)z„ = 2n + ——i.

n + 2i    n + 1

2. Zbadać zbieżność szeregów:

n— 1

d)

11=1

GO

\ ^ / im . nn\

C, 2__iy^axY⁺‘^5mT