str046 (5)

46 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Ze wzoru (6.5) lub, co na jedno wychodzi, ze w’zoru (6.6) wynika, że całka krzywoliniowa (6.4) funkcji zmiennej zespolonej zachowuje wszystkie własności całki krzywoliniowej funkcji zmiennej rzeczywistej. I tak

(6.7)    J [/iOO+ZzO*)] dz = J/j(z) dz± $f₂(z)dz,

c    cc

(6.8)    J kf(z) dz = k J /(z) dz,

c    c

gdzie k oznacza stałą.

(6.9)    J f(z)dz = -f/(z)dz,

(-C)    c

gdzie (— C) oznacza krzywą, w której zmieniono zwrot na przeciwny.

Jeżeli krzywa C składa się z krzywych C_x, C₂, ..., C„ (rys. 1.9), to

(6.10)    J/(z)dz = j7(z)dz+ J/(z)dz + ...+ J/(z)dz.

c    Cl    c₂    c_n

Jeśli |/(z)KM dla ze C oraz / oznacza długość krzywej C, to

(6.11)    | \f(z)dz\^Ml.

c

Nierówność (6.11) wyraża tezę twierdzenia o module całki. Słuszna jest również nierówność

(6.12)    | J/(z)dz|*S J |/(z)| |dz|.

c    c

Definicja 2. Mówimy, że F(z) jest funkcją pierwotną funkcji /(z) w obszarze D, jeżeli w każdym punkcie tego obszaru F'(z) = /(z).

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f(z) jest ciągła w obszarze D i ma w tym obszarze funkcję pierwotną F(z), to całka krzywoliniowa (6.4) wzdłuż dowolnej drogi regularnej C zawartej w D o początku z, i końcu z₂ nie zależy od drogi całkowania i wyraża się wzorem

(6.13)    \f(z)dz = F(z₂)—F(z₁).

c

Zadania przykładowe

Zadanie 6.1. Obliczyć całkę:

a) Ji — j Re(z)dz, gdzie Cjest odcinkiem prostoliniowym o początku z_t = 0 i końcu c

Z 2 = 0 +*')»