str047 (5)

§ 6. CAŁKA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 47

-.

b) J₂ = j\z\dz, gdzie C jest krzywą o równaniu z = e¹', — c

Rozwiązanie, a) Wyznaczamy najpierw równanie odcinka, którego początkiem jest punkt z, = 0, a końcem punkt z₂ = (1+0- Ma ono postać (por. §2 wzór 2.8):

(1)    z = (l + i)i, OsSfsJl.

Stąd

(2)    dz = (l + i)dt.

Stosując do całki /, wzór (6.6) oraz uwzględniając wzory (1) i (2) mamy

i    i    i

| Re(z)dz = | Re[(l + i)/](l + i)dt = J t(l + i)dt = (1 +i) j tdt —

co    o    o

- (^{1 + l}V,2ii _ ii!

2 ^{L J}° " 2

b) Stosując do całki J₂ wzór (6.6) mamy

J |z| dz = j \e^u\ e“idł = i j e‘'dt = i I -1    = [c"]-_n =

C    -u    -B    L ¹ J-B

= = 1 + 1 = 2.

Zadanie 6.2. Obliczyć całkę

(1)    J = J zsinzdz,

c

gdzie C jest dowolną krzywą regularną o początku z, = 0 oraz końcu z₂ = i.

Rozwiązanie. Zauważamy najpierw, że funkcja podcałkowa,/(z) =zsinz, w całce (1) jest ciągła i ma funkcję pierwotną F(z). Całkując przez części funkcję/(z) = zsinz znajdujemy, że funkcja pierwotna F(z) wyraża się wzorem

v    /

F (z) = sin z — z cos z + C.

Wobec tego stosując wzór (6.13), mamy w rozważanym przypadku

J zsinzdz = [sinz —zcosz + C]o = c

= (sini—icosi + C)—(sinO—0- cosO+C) =

= sin i — i cos i = —ie~¹.

Zadania do rozwiązania

1. Obliczyć całki:

a)    Jim(z)dz, gdzie C jest odcinkiem o początku z, = 0 i końcu z₂ = (2-fi), c

b)    J |z|rfz, gdzie C jest krzywą o równaniu z = e“, — c

i+i _

c)    j e⁷dz wzdłuż łamanej o wierzchołkach z_} = 0, z₂ = 1, z₃ = (1+i), o