8592539739

18

Funkcje zespolone.

4 Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej

Niech / będzie funkcją zmiennej zespolonej określoną na krzywej gładkiej C danej równaniem:

z = z(t) = x(t) + iy(t), t G [a, 0],

i zorientowanej zgodnie ze wzrastającym parametrem.

Podzielmy przedział [a, 0] na n podprzedziałów za pomocą punktów tk, k =

0,1,..., n tak, że

a = t₀ < t\ < t% < • • • < t_n-1 < t_n = 0.

Punktom odpowiadają punkty Zk = z(tk), k = 0,1,...,n, krzywej C. Na każdym łuku częściowym Zk-\Zk, k = 0,1,... ,n wybieramy w dowolny sposób punkt £* i tworzymy sumę całkową:

s„ :=E /(&)(**

fc=l

Definicja 4.1. Jeżeli dla każdego ciągu podziałów przedziału [a,/?] takiego, że długość największego z przedziałów [tfc-i,t*] dąży do zera, ciąg (S_n) sum całkowych jest zbieżny do tej samej granicy skończonej, niezależnej od wyboru punktów to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową funkcji f wzdłuż krzywej C i oznaczamy

j f(z)dz. c

Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej zespolonej zachowuje wszystkie właściwości całki krzywoliniowej zmiennej rzeczywistej. W szczególności