Matematyka 2 5

III. Rachunek cuUurwy funkcji wielu zmiennych 184 

7. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA.

I.UK Gł.ADKI SKIEROWANY. W dalszym ciągu będzie nam potrzebne pojęcie łuku gładkiego skier o w anego Przyjmijmy następujące określenie.

Luk gładki, w którym jeden z dwóch końców wyróżniono nazywając go początkiem, a drugi - końcem, nazywamy lukiem gładkim skierowanym (zorientowanym).

Niech będzie dany luk gładki określony równaniami parametrycznymi

(7.1)    x = x(l), y = y(l),    t€<u,p>.

Luk skierowany opisany tymi równaniami, którego początkiem jest punkt A=(x(a),y(a)), a końcem punkt B = (x(|J),y(|5)) oznaczmy symbolem AR Mówimy, że skierowanie luku AB jest zgodne z jego parametryzacją. Luk skierowany opisany równaniami (7.1), którego początkiem jest punkt B. a końcem punkt A oznaczmy symbolem RA. Luki AR i BA nazywamy łukumi przeciwnie skierowanymi i zapisujemy BA = -AB (por. rys 7.1). Luk przeciwnie skierowany do luku k oznaczamy przez -K .

Rys 7.1

Dla określenia łuku skierowanego są więc potrzebne nie tylko równania (równanie), ale takZe wskazanie początku i końca tego łuku. Jeżeli jednak w dalszym ciągu naszych rozważań podamy jedynie równaniu (równanie) łuku skierowanego, to będziemy przyjmować, żc skierowanie tego łuku jest „naturalne”, tzn. zgodne z jego parametryzacją.

Mówimy, że krzywa zamknięta kawałkami gładka jest skierowana dodatnio, gdy obserwator poruszający się po tej krzywej zgodnie / jej skierowaniem ma ..najbliższe'' punkty wnętrza lej krzywej po swojej lewej ręce (rys. 7.2). W przeciwnym razie mówimy, że krzywa jest skierowana ujemnie (ry s. 7.3).

Określenie całki krzywoliniowej skierowanej Rozważmy dwie funkcje P i Q określone w każdym punkcie (x,yl luku gładkiego skierowanego K o początku A i końcu B Analogicznie, jak v\ definicji całki krzywoliniowej nicskicrowanej, podzielmy luk K punktami A - A „.A,. A,,. ..A^.A^B na n luków częściowych .....gdzie /, - A ,A . i = 1.2 n. (rys 7.4). Niech A/ oznacza długość łuku / . i = 1.2 n. Liczbę ó„ =max(A/_l.A/2 A/_n) nazywamy średnicą danego podziału. Załóżmy, żc A, = tx,»yj > i przyjmijmy oznaczenia: Ax₅ =x,. \y, = y, y, ,, i = 1,2.....n.

Na każdym luku częściowym /, wybierzmy punkt pośredni (Xj.y,) i utwórzmy sumę