Matematyka 2 7

206 111. Rachunek catkowy funkcji wielu zmiennych

8. CAŁKA POTRÓJNA.

OKREŚLENIE CAŁKI POTRÓJNEJ. Obszar domknięty'VcR³ nazywamy normalnym względem płaszczyzny Osy. jeśli

V={(x,y_tz)€R³: k(x,y)<z<l(x,y) a (x,y)eD}.

gdzie k i I są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze D oraz k(x.y)<l(x,y) dla punktów wewnętrznych obszaru D (rys. 8.1).

Analogicznie definiuje się obszar V normalny względem płaszczyzny Oyz lub 0xz.

Domknięty obszar VcR ' nazywamy regularnym, gdy jest on sumą skończonej liczby obszarów normalnych względem jednej z płaszczyzn układu współrzędnych i nie mających wspólnych punktów wewnętrznych.

Niech f będzie funkcją określoną na regularnym obszarze VcR³. Podzielmy obszar V w dowolny sposób (np. płaszczyznami prostopadłymi do osi 0x_t Oy i Oz) na n obszarów częściowych V, odpowiednio o objętościach AV_łt i = 1,2.....n, tak, by

1° Żadne dwa obszary' V_t, V_Jt i* j, nie miały wspólnych punktów wewnętrznych,

2° suma obszarów częściowych V była obszarem V

V = V, wV₂vj”*u V_n, (rys 8.2).

Rys 8.2.

Analogicznie, jak w definicji całki podwójnej, definiujemy średnicę ó_n podziału oraz sumę

s.=Żf(x_i.y_t.ź_i)A^v„

i=l

gdzie (x_(ly,,z,) jest dowolnie wybranym punktem pośrednim w obszarze częściowym V. i = 1.2.....n.

Utwórzmy normalny ciąg podziałów obszaru V na obszary częściowe (tzn., ze ó_n —>0 przy n —► <=o) i odpowiadający mu ciąg (S_n).

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru V i każdego wyboru punktów pośrednich (x_t.y_|tź,) w obszarach częściowych istnieje la sama skończona granica ciągu (S_n), to tę granicę nazywamy całką potrójną funkcji f na obszarze \ i oznaczamy symbolem

Jj|f(x*y.z)dxdydz.

v

Zatem

ócf

x,y,z)dxdydz =

ł-unkcję f, dła której istnieje całka potrójna na obszarze V nazywamy funkcją całkowalną na obszarze V

TWIItRDZnNrC 8.1 (warunek konieczny całkowalności). Jeżeli f jest funkcją całkowalną na regularnym obszarze VcR', to jest funkcją ograniczoną na tym obszarze.