Matematyka 2 7

III. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

1. OKREŚLENIE CAŁKI PODWÓJNEJ I JEJ INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA.

Obszar normalny względem osi. obszar re-

GULARNY. Definicje obszaru i obszaru domkniętego podane w rozdziale 11 uzupełnimy teraz definicjami obszaru normalnego względem osi 0x (Oy) i obszaru regularnego

Obszar domknięty DcR² nazywamy normalnym względem osi 0x. jeśli

D = {(x,y)€R^:: a<x£b a g(x)<y<h(x)}. gdzie g i h są funkcjami ciągłymi dla xe<a,b> i g(x)<h(x) dla x e(a,b).

Obszar domknięty DcR' nazywamy normalnym względem osi Oy. jeśli

D = {(x,y)eR^z: c<y<d a k(y)<x<l(y)l, gdzie k i 1 są funkcjami ciągłymi dla y€<c.d> i k(y)<l(y) dla y e(e,d).

Obszar domknięty DcR' jest normalny względem osi 0x (Oy) wtedy i tylko wiedy. gdy prosta prostopadła do osi 0x (Oy) i przechodzą-ff ^przcz Punkt wewnętrzny obszaru D przecina brzeg lego obszaru do-kładme w dwóch punktach.'

Na rysunku 1.1 podane są przykłady a) obszaru normalnego względem obu osi. b) obszaru normalnego tylko względem osi Oy, c) obszaru, który nie jest normalny ani względem osi l)x, ani też względem osi Oy.

Rys 1.1

Domknięty obszar DcR'nazywać będziemy obszarem regularnym, jeżeli można go przedstaw ić jako sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem osi 0x lub Oy i takich, że żadne dwa z tych obszarów nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.

Dowolny obszar normalny względem przynajmniej jednej z osi układu jest oczywiście obszarem regularnym Na rysunku 1.2 przedstawione są inne przykłady obszarów regularnych.

Rys 1.2

Z przyjętych definicji wynika, że obszar regularny jest obszarem domkniętym i ograniczonym.

OKREŚLENIE CAŁKI PODWÓJNEJ. Niech f będzie funkcją

określoną na regularnym obszarze DcR². Podzielmy obszar D w dowolny sposób (np. prostymi równoległymi do osi 0x i Oy) na n domknię-