Matematyka 2 3

202 III. Rachunek talkowy funkcji widu zmiennych

i) f(x² + y²)dx,jeśli K: x = cost-Msinl. y=sśnt-tCOSt, te<0.Ji>

K

3.    Obliczyć całki krzywoliniowe:

a)    Jxdx+(x+y)dy+xzdz, jeśli K jest odcinkiem o początku (-3,0,4)

K

i końcu (0,5,1).

b)    Jydy+xzdz, jeśli K x = sint, y = sint, z=t, te<0_f7t>,

K

c)    Jx²dx+(z+x)dy+y²dz_t jeśli

K

K: x = cost. y=sint. z=t. te<0.it/2>.

4.    Obliczyć procę siły F na hiku K, jeśli

a)    F=xi+(x+y)j. jeśli K: y=x^:. 0<x<2,

b)    F = [xy,xj, jeerii K: y=x\ -l<x<l,

c)    F=|x,-3,x+z|, jeśli K: x = t_t y=t\ z=r. -1<1<0.

5.    Obliczyć całki krzywoliniowe:

a)    Jx²ydx-y³dy, jeśli K jest łamaną ABCA, A(-l,0). B(0,-1), K

C(0,l).

b)    f(xy²+c *)dx+(x²y-c~*)dy, jeśli K jest dodatnio skierowa-K

nym brzegiem obszaru D=|(x,y): x‘-x<y<5x-x^:},

c)    J(x² + y )dx->-4xydy, jeśli K jest skierowanym dodatnio okręgiem K

o równaniu x² -f-y* = 2 ,

d) | T~dx-fdy, jeśli K jest łamaną ABCDA, A(0,0). B(0_f I),

K ^{+X y}

C(l,l). 0(2,0),

e) J(x²-Vl+x^: )dx+(x²y+-^l + y² )dy, jeśli K jest skierowanym K

dodatnio okręgiem o równaniu x' + y²-y = 0,

0 J(xe^yJ-2yKlx+(x²yc^v* +x)dy. jeśli K jest skierowanym do-K

datnio okręgiem o równaniu x² +y* -6x + 2y4-6 = 0,

g)    J(y-ln(l + x‘))dx+(xy + ln(l + y²))dy jeśli K jest dodatnio skie-K

rowanym br/egiem obszaru D={(x,y): l£x^: +y^:<4 a y£0|,

h)    Jl x² +y² Idy. jeśli K. jest skierowanym dodatnio brzegiem obsza-

K

ru ograniczonego krzywymi y = x², y = 2x-x²,

i)    j\x-siny)dx+(y+cosy)dy, jeśli K jest ujemnie skierowanym K

brzegiem trójkąta o w ierzchołkach (0,0), (1,0), (2,2).

6. Obliczyć całki krzywoliniowe:

a-5)

a)    J(2x+y)dx+(x+2y)dy,

(-UJ)

(0,0

b)    J( 1+xy)e*^ydx+x²c^xydy,

(2.2)

2

c)    J—dx+(l+2ylnx)dy, jeśli K jest dowolną krzywą kawałkami K

gładką nie przecinającą osi Oy, o początku (1,0) i końcu (2,3).

d) f —-dx4- , ^y    dv. jeśli K jest dowolną krzywą kawałkami Jx²+y- x‘ + y“

gładką zawartą w półpłaszczyżme y>0 o początku (-1,1) i końcu

(2,2),