MATEMATYKA084

160 III Rachunek różniczkowy

b) f(x) ⁼ 4cos' x -*■ 3cosx, x e( n,n).

a)    Ponieważ funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie x G R, więc ekstrema lokalne tej funkcji mogą istnieć jedynie w punktach, w których jej pochodna jest równa zeru Ponieważ

P(x) = 2x(arctgx - ~), xeR.

więc f'(x) = 0 dla x = 0 lub x - 1. Obliczamy pochodną rzędu drugiego:

f"(x) = 2arctgx + -^-*

1 + x* 2

Ponieważ f"(0) = - n/2 < 0, f"(l)=l>0, więc funkcja f ma w punkcie x = 0 maksimum lokalne równe f(0) = 0, a w punkcie x - I

minimum lokalne równe f(1) = -1.

b)    Funkcja ta jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału zatem ekstrema lokalne tej funkcji mogą istnieć jedynie w

punktach zerowania się jej pochodnej. Ponieważ

f'(x) = 3sin x(l -4cos' x), x e(-7i,7t), więc f'(x) = 0 dla x = 0 lub x = ±rc/3 lub x = ±2tc/3. Obliczamy pochodną rzędu drugiego

f"(x) = 9cosx(3-4cos²x), xe(-7t,7r). '

Ponieważ f"(0)= -9<0, f"(±V³)=^9>0 oraz f"(i2jr/3) = -9 <0. wiec funkcja f ma w punktach x - 0, x = 2 rc/3, x - -2 rc/3 maksima lokalne, przy' czyni f(0) - f(2n/3) = f(-2n/3) = 1, zaś w punktach x = 7t/3, x~-rc/3 funkcja ma minima lokalne, przy czym f(7t/3)=f(-7t/3) = -1.    ■

Wyznaczanie    ekstremów absolutnych

Wiadomo, że funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje w pewnym punkcie tego przedziału wartość największą i w pewnym punkcie - wartość najmniejszą, czyli osiąga na tym przedziale ekstrema absolutne Analogicznie, funkcja ciągła na skończonej sumie przedziałów' domkniętych osiąga na tym zbiorze swoją wartość największą i najmniejszą. Wiadomo, że ekstremum absolutne może być osiągnięte wewnątrz przedziału (a wtedy jest jednocześnie ekstremum lokalnym) lub leż w punkcie brzegowym przedziału.

Wynika stąd metoda wyznaczania ekstremów absolutnych funkcji f ciągłej na przedziale domkniętym <a,b>. Znajdujemy punkty w których funkcja może mieć ekstrema lokalne, a następnie wybieramy największą i najmniejszą liczbę spośród liczb: f(a), f(x,), ...,f(x_n), f(b).

Największa z tych liczb jest maksimum absolutnym a najmniejsza minimum absolutnym funkcji f na przedziale < a,b >.

PRZYKŁAD 5.4 Wyznaczymy najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale <0,71 >, gdy

f(x) = sin² x fcosx.

Dla każdego x e(0,7t) mamy

f'(x) = sin x(2cosx -1),

przy czym f'(x) = 0 dla x = n/3. Zatem x = 7t/3 jest jedynym punktem przedziału (0,7t), w którym może istnieć ekstremum lokalne funkcji f. Obliczamy kolejno:

f(0)=l, f(re/3) = 5/4, f(jt) = -l.

Najmniejsza wartość funkcji f na przedziale <0,x> jest więc równa f(7t) = -1, a największa jest równa f(rc/3) = 5/4    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1.    Naszkicować wykres funkcji, która ma w punkcie x₀ maksimum lokalne oraz a) ma w tym punkcie pochodną, b) nie ma w tym punkcie pochodnej.

2.    Załóżmy, żc funkcja ma maksimum lokalne w punkcie x₀. Czy prawdą jest, że na pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu x₀ funkcja ta jest rosnąca, a na prawostronnym sąsiedztwie - malejąca? Odpowiedź uzasadnić podając odpowiedni przykład

3.    Naszkicować wykres funkcji f R->R mającej minimum lokalne w punkcie x = -I oraz maksimum lokalne w' punkcie x = 2, przy czym w punkcie x = -l funkcja ta nie jest ciągła, a w punkcie x = 2 jest ciągła, ale nie ma pochodnej