MATEMATYKA070

132 III. Rachunek różniczkowy

f" = (f')'

lub

dH " d,df. dx² Av Av

dx dx

Ogólnie, pochodna rzędu n (n = 2,3,...) funkcji f jest to pochodna (o ile istnieje) pochodnej rzędu (n -1), co zapisujemy:

f(n) _    I)y

lub

dT " d ,d"'f\ dx" dxW"^;'

PRZYKLAD3.7 Obliczymy f "(0), gdy f(x) = xe*^J'. Obliczamy kolejno:

f'(x) = e*^s, + xc ^!”(-2) = (l-2x)e ^,,1 x eR,

f"(x) -2e'^3x + (l-2x)e ^!x(-2) = (4x -4)e ^2x, xeR, a stąd wynika, że f"(0) = -4.    ■

PRZYKŁAD 3.8 Wyprowadzimy wzór na pochodną n-tego rzędu funkcji

y=ln(l+2x), x>-l/2.

Obliczamy kolejno:

y' = 2(l + 2x)'\ y" = -2^J(l + 2x)“²,

y"’ = 2^J l-2(l + 2x)    y⁽⁴⁾ = -2⁴-l-2-3(l + 2x)⁴.

Na podstawie powyższych wyników mamy prawo przypuszczać, że dla każdego n e N prawdziwy jest wzór.

y<")=(-l)»*^,2"(n-l)!(l+2x) "

Należy to jednak udowodnić. Dowodzimy indukcyjnie.

1)    Wiadomo już, że wzór ten jest prawdziwy dla n = 1 (a także dla n = 2,3,4).

2)    Załóżmy, że dla pewnego n € N wzór jest prawdziwy, czyli:

y'"’ =(—l)^ntl2"(n-l)!(l+2x) ",

Udowodnimy, że wzór len jest prawdziwy dla liczby n +1, to znaczy y<"">=(-l)-²2ⁿ*^ln!(l + 2x)^--¹.

Rzeczywiście,

ilrf

y<"‘i> = (y^M)' = (—l)"^,l2"(n —1)!(—n)(l + 2x) " '-2 =

= (—1)"’^J 2“*' n !(1 + 2x)^_l,_l.

Na mocy zasady indukcji matematycznej możemy stwierdzić, że podany wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej.    ■

PRZYKŁAD

nego xeR, gdy

f(x)

3.9 Znajdziemy pochodną f'(x)dla dowol-

/-3x²-

i

-4x+4, x<0,

4x+4,    x£0.

Dla dowolnego x<0 mamy f'(x) = -6x-4, a dla x>0 otrzymujemy f'(x) = 2x-4. Sprawdzamy, czy istnieje pochodna funkcji f w punkcie x₀ = 0. Zgodnie z definicją pochodnej mamy

f(x)-f(0)    f(x)-4

= lim-

* »o

**o    x-0    %~>o x

o ile tylko granica ta istnieje i jest skończona. Ponieważ

— =lim(-3x-4) = -4,

f(x)-4    -3x²

lim    ¹—= lim-

x .O- X

uJlżtl

x >0- X

x

= lim

x->0-

x -4x

X *0-

= lim (x-4) = -4,

x~»Of

więc

x*0

Stąd wynika, że f'(0)

= -4. W konsekwencji mamy:

f'(x)

_ f-6x-4, x<0,

~\ 2x-4,    x>0.

Łatwo widać, że f"(x) = -6 dla x<0 oraz f"(x)=2 dla x>0. Natomiast f"(0) nic istnieje, co łatwo sprawdzić korz>'stając z definicji drugiej pochodnej. Czytelnikowi proponujemy naszkicowanie wykresów funkcji y = f(x), y = f(x) oraz y = f"(x)    ■

Funkcję f(x), która ma pochodne do r-tego rzędu włącznie na przedziale (a.b) nazywamy funkcją n-krotnie różniczkowa Iną na tym przedziale

Jednocześnie zauważmy, że z istnienia pochodnej n-tego rzędu funkcji wynika istnienie (a także i ciągłość) wszystkich pochodnych niższego rzędu