MATEMATYKA066

124 III. Rachunek różniczkowy

Zastępując w definicji pochodnej symbol granicy symbolem granicy jednostronnej otrzymujemy definicje pochodnych jednostronnych w punkcie x_n: prawostronnej f'(x₀) lub lewostronnej f^/(x₀):

X- X,

X-*X₀*

_f;(Xo)t' ,_im Mil&l

Jc(

f'(x₀)= hm f(x)-f(x₀)

X -X,

Na przykład funkcja y =|x| nic ma pochodnej w punkcie x„ = 0, ale ma pochodne jednostronne w tym punkcie:

f'(0) = 1,    f'(0) = -l

Z przyjętych definicji wynika natychmiast, że

pochodna funkcji w punkcie x₀ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są sobie równe obie pochodne jednostronne. Wówczas

f'(x₀)=f;(xo)=r(x₀).

CIĄGŁOŚĆ a ISTNIENIE POCHODNEJ. Przypomnijmy, znane już ze szkoły średniej, bardzo ważne twierdzenie o związku między ciągłością a istnieniem pochodnej danej funkcji:

Jeżeli funkcja ma pochodną w pewnym punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, gdyż funkcja ciągła nie musi mieć pochodnej (por. przykład 3.1 a)). Natomiast wraz z podanym wyżej twierdzeniem prawdziwe jest twierdzenie przeciwstawne;

Jeżeli funkcja nie jest ciągła w pewnym punkcie, to nie ma /?ochodnej w rym punkcie.

Z powyższych rozważań wynika, żc

Jeżeli funkcja f nie jest ciągła w punkcie x₀ lub

nie istnieje styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (x₀,f(x₀)) lub

styczna ta istnieje, ale jest prostopadła do osi 0x, to funkcja f nie ma pochodnej w punkcie x₀.

FUNKCJA POCHODNA Pochodna funkcji w danym punkcie x_0# zgodnie z definicją, jest liczbą. Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie x zbioru X, to funkcję

f': x -» f'(x), x € X

nazywamy funkcją pochodną lub krótko: pochodną funkcji f na zbiorze X.

TWIERDZENIA O POCHODNYCH

TWIERDZENIE 3.1 (o działaniach na pochodnych). Jeżeli istnieją pochodne funkcji f i g w punkcie x₀, to (f ±g)'(x_u) = f'(!<o)±g'(x₀).

(fg)'(Xo) = t''(x„)g(x₀) + f(^xo)g'(Xn)-

8    g'(x₀)

TWIERDZENIE 3.2 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli funkcja złożona F(x) = f(g(x)) jest określona na pewnym otoczeniu punktu x₀, funkcja g ma pochodną w punkcie x₀ oraz funkcja f ma pochodną w punkcie u₀ = g(x₀), to funkcja F ma pochodną w punkcie x₀, przy czym

F’(x„)- f'(g(x₀))g'(x_l>)

Krótko: pochodna fimkcjt złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej.

TWIERDZENIE 3.3 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli funkcje y = f(x) i x~g(y) są funkcjami odwrotnymi względem siebie i funkcja g ma różną od zera pochodną w punkcie y₀, to funkcja f ma pochodną w punkcie x₀ = g(y₀), przy czym

^f'(^xo) = i^y. gdzie y_n = f(x₀).

Krótko; pochodna funkcji odwrotnej jest równa odwrotności pochodnej danej funkcji (przy odjwwlednich założeniach).