19741 MATEMATYKA056

104 III Rachunek różniczkowy

granicy

Uwaga Dotychczasowe rozważania tego paragrafu dotyczyły określana lim f(x)*b

x >•

w różnych przypadkach literę a można zastąpić przez x_f, x_c +, \ -.+oo, -<jo, nuto* miast w miejsce b moz.no wstawić g, + oo, -oo. Zauważmy, ze w każdym z tych 15 przypadków definicjo I lanego jest Inka sama

(lim f(x)- b)« A ((x_n eS(a),iicN a lim x_B ■ a)=a( lim f(x. )■ b)).

x »• («„) n-*on n

Posługując się pojęciem otoczenia i sąsiedztwa pimktu można również jednakowo, w każdym z możliwych przypadków. zapisuć (luk różne na pozór) definicje Cmi-chy'cgo:

(lim f(x)« b) « A V A f(x)elJ(b).

U(b) SU) xeSU)

W przypadku granic jednostroiuiych, dla uzyskunia jednolitego zapisu, przyjęto lulaj oznaczenia:

S(x₀+) = S*(x_D). S(x,-)«.S (x_n).

TWIERDZENIA O GRANICACH FUNKCJI Z definicji Heinego granicy i odpowiednich twierdzeń o granicach ciągów (rozdz.11,1) wynikają natychmiast następujące twierdzenia o granicach funkcji:

TWIERDZENIE 1.1 Jeżeli lim f,(x) = g, i lim f₂(x) = g₂, to

x-»x_c x-*x„

(1) lim (f,(x)±f₂(x)) = g, ±g₂,

x->x₀

(2) lim (fi(x)f₂(x)) = gjg₂,

x-»x₀

(3) lim t¹— ⁼ P^r/y zal. że g₂ *0 oraz f,(x) * 0 dla x c S(x„). x-łx₀ t₂(x) g₂

TWIERDZENIE 1.2 (o trzech funkcjach). Jeżeli dla x z pewnego sąsiedztwa punktu x₀

f,(x)£g(x)£f₂(x) oraz lim f,(x) = lim f₂(x),

x-*x* x-*x₀

to granica funkcji g w punkcie x₀ istnieje, przy czym lim g(x)= hm f,(x)= lim f₂(x).

x-*x₀ x-»x_c x->x_c

TWIERDZENIE 1.3 Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona na pewnym sąsiedztwie punktu x₀ oraz lim g(x)= 0,to

K-**Ą

lim f(x)g(x) = 0.

TWIERDZENIE 1.4 Jeżeli lim f.(x) = gi lim f₂(x) = +oo,to

X »X_t X >X₀

(1) hm(f,(x)+f₂(x)) = oo,

x-*Xg

+*>. gdy g>0, ,—°o, gdy g<0.

TWIERDZENIE 1.5 Jeżeli lim f,(x) = +x i lim f₂(x) = +x,

x-»x₀ X »x₀

(1) lim (f,(x) + f₂(x)) = +oo,

x-»x₈

(2) lim (f,(x)f₂(x)) = +oo.

TWIERDZENIE 1.6 Jeżeli iimf(x) = 0 i f(x)>0 dla x z

X -»Xg

pewnego sąsiedztwa punktu x₀, to

lim

*f(x)

= +00.

TWIERDZENIE 1.7 (o granicy funkcji złożonej) Załóżmy, że funkcja złożona f(h(x)) jest określona na sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀. Jeżeli limh(x) = u₀, przy czym h(x)*u₀dla x€S(x₀) oraz

X-»X₀

lim f(u) = g, to

U »Ug

hm f(h(x)) = lim f(u) = g

X »X(, U »U„

Uwaga. Twierdzenia 1.1 - 17 pozostają prawdziwe dla granic jednostronnych (tzn. przy x ->x₀- lub x -+ x₀ +) oraz dla granic w nieskończoności (tzn przy x-+-oo lub x —> +oo).