Matematyka 2 1

140 III. Rachunek calkuwy funkcji wetu zmiennych

Interpretacja geometryczna Niech f będzie

funkcją ciągłą i mcujcmną na regularnym obszarze D. Niech V oznacza bryłę (rys. 1.4) ograniczoną płaszczyzną z = 0, powierzchnią z=f(x.v) oraz powierzchnią walcową, której kierownicą jest brzeg obszaru D. a tworzące są równoległe do osi Oz, czyli

V= |(x,y.z)eR^;: 0<z<f(x,y) a (x,y)eD).

Niżej podamy definicję objętości |V| tej bryły.

/

/x

2

li

Rys 1.4.

Rys 1.5.

Obszar L> dzielimy na n obszarów częściowych D, o połach AD,.

i = 1,2.....n, spełniających warunki 1°, 2° z definicji całki podwójnej

W każdym obszarze D, obieramy punkt (x_|fy,) i rozważamy walec V_t:

V, = {(x,y,z)eR^? OSzśf(x,,y₁) a (x.y)eD,}. i = 1,2.....n,

(rys 1.5): Objętość AV, każdego z walców V₍ jest równa AVj =f(x_l,y,)AD,. 1 = 1,2.....n.

Suma objętości tych walców ^AV_; = ^f(x₁,y,)AD jest przybliżo

A

n

granicę tego ciągu

n

lim Y ff^.y.JAD,.

n->c* “ l=1

Wobec ciągłości funkcji f na obszarze D granica ta istnieje i mu tę samą wartość przy każdym normalnym ciągu podziałów i przy każdym wyborze punktów (x,.y,). i jest równa całce podwójnej funkcji f na obszarze D. Naturalnym jest więc przyjąć następującą definicję objętości |V| bryły V:

czyli

|V|= J|f(x.y)dxdy.

D

Zatem całka podwójna funkcji t* ciągłej i nicujemncj na obszarze regularnym D jest równa objętości bryły V:

V = |(x.y,z) eR^ł: 0<z<f(x,y) a (x.y)eD|.

W szczególności, jeśli funkcja f(x,y) = I dla (x.y) eD, to bryła V jest walcem o wysokości 1 i podstawie D. której objętość jest równa !V|=|D| I=(D|. Zatem

JJchily =|D|

D

Dla przykładu: a> całka jjl3dxdy. jeśli D= {(x.y) eR': I <x < 7a0< y<8|. D

jest równa objętości prostopadłościanu (rys 1.6) o wysokości 13 i podstawie będącej prostokątem o polu równym 6-8. zatem

jjl3dxdy-6-8-13 = 624₁ o

b) calku jj(6-2x-3ykl<dy. jeśli D= {(x,y) eR^:. 2x+Jy<6. x.y>0|, jest i)

równa objętości |V| ostrosłupa (rys 1.7), zatem

JJ(6-2x-3yklxdy-|V|= j i-3-2-6=6.