Matematyka 2 1

130 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

gdzie y = y( x). Stąd otrzymujemy y'( 1) = 1/4. W konsekwencji, wobec ciągłości y'(x), mamy, że y'(x) > 0 na pewnym otoczeniu punktu = 1. Oznacza to. że funkcja uwikłana, o której mówimy, jest funkcją rosnącą na tym otoczeniu.    ■

Przy dodatkowym założeniu, że funkcja F w równaniu (7 1) jest klasy C\ otrzymujemy wzór na drugą pochodną funkcji uwikłanej W tym celu różniczkujemy względem x równość (7.3). Wówczas mamy

a stąd

+ W+< F£ F"y')y' + F;.y* = 0,

y"(x)=-

^+2F"y' + F"(y-)³

Uwzględniając w powyższym wzór (7.2) mamy

y"(x) = -

przy czym F^. Fy, F^. punkcie (x.y(x)).

F"(F;r-:F;;F;F;.₊F"(F;)²

(f;j³

F”_y, Fyy oznaczają tu pochodne cząstkowe w

PRZYKŁAD 7.2. Łatwo sprawdzić, że równanie (I)    2.\ -r y - cosxy -1 = 0

określa na pewnym otoczeniu punktu x₀ = 1 dokładnie jedną funkcję uwikłaną y = y(x) spełniającą warunek y(I) = 0. Istotnie, dla funkcji F(x,y)b2x + y-cosxy-1 mamy F(1.0) = 0 i l*J(l,0)= 1 *0. Ponieważ

F'=2 + ysinxy, F,'= l + xsinxy,

F” = y* cosxy, F” = sin xy + xycosxy, F" = x^: cosxy

oraz

F'(i,o)=2, f;(i.o) = i, f:;(1,0)=0. F”(i,0)=o, fy;(i,o)=i,

więc y'(l)=-2,    y”(l) = -4.

Stąd. wobec ciągłości y' i y", wynika, źc rozważana funkcja uwikłana y = y(x) na pewnym otoczeniu punktu x„ = 1 jest malejąca, a jej wykres jest krzywą wklęsłą.    ■

EKSTREMA FUNKCJI UWIKŁANEJ Juk pokazaliśmy w przykładzie 7.2, nawet w przypadku gdy nie potrafimy efektywnie rozważać równania F(x,y) = 0 względem zmiennej y, możemy podać pewne informacje o funkcji uwikłanej y = y(x) określonej tym równaniem. Teraz pokażemy w jaki sposób można wyznaczyć ekstremu lokalne funkcji uwikłanej nie znając jej postaci.

Z warunku wystarczającego istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej (tom 1, rozdz. 111, 5) i twierdzenia 7.1 o istnieniu funkcji uwikłanej łatwo wynika następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 7.2. (warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji uwikłanej). Jeżeli F jest funkcją klasy C' na pewnym otoczeniu punktu (x₀,y₀) oraz

l) F(x_o,y₀) = 0, F^(x₀,y₀) = 0, F_>'(x₀,y₀)*0,

2) to funkcja uwikłana y = y(x) określona równaniem F(x,y) = 0 i spełniająca warunek y(x₀) = y₀, ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne równe y₀. przy czym jest to maksimum, gdy l(x₀,y₀)<0 lub minimum, gdy

Ux₀,y₀)> 0.

Dowód. Z założenia 1) i twierdzenia 7.1. wynika istnienie funkcji uwikłanej v = y(x) takiej, że y(x₀) = y₀. a także zerowanie się pierwszej pochodnej tej funkcji w punkcie x₀. Uwzględniając, że F' (\₀,y₀) = 0 otrzymujemy

i F»(xo.y») ^y(Xfl,_ F;(x₀.y„r

Z założenia 2) wynika, że y"(x_o)*0, a zatem funkcja y(x) ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne. Jest to maksimum, gdy y"(x₀) = I(x₀,y„) <0 lub minimum, gdy y"(x₀) = l(x₀,y₀) >0, co kończy dowód.

PRZYKŁAD 7.3. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji y = y( x) określonych równaniem:

a)    2x⁴ +x^:y-y^: -i-3y-2=>0.

b)    e* ¹ +e-^v - x + y-l = 0.