Matematyka 2 5

124 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

ma dwa rozwiązania: x = - \/-j2. y = 0 oraz x = 1/ -J2, y = 0, pi czym tylko punkt p. =(l/v'2,0l jest punktem wewnętrznym obszaru D. W punkcie pj może istnieć ekstremum lokalne funkcji f i może to być ekstremum absolutne.

Obszar D jest kołem domkniętym & środku w punkcie S = (1,0) i promieniu r = I. Brzegiem tego koła jest okrąg o równaniu

x²+y²-2x = 0. W punktach tego okręgu funkcja f przyjmuje wart* z(x) = xc przy czym x e< 0,2> Ponieważ z’(x)=(l-2x)c ^lx = 0 dla x = 1/2, więc funkcja z(x) może osiągać swoją największą i najmniejszą wartość na przedziale < 0.2 > w punkcie: x = 1/2 ( w tym punkcie może być ekstremum lokalne) lub w punktach końcowych przedziału: x = 0, x = 2. Zatem funkcja f może osiągać ekstrema absolutne

na okręgu x² + y^: - 2x = 0 w punktach

p_:=(l/2.V3/2). p₃ =(1/2,—i/J/2), p₄ =(0.0), p, =(2,0). Obliczamy wartości funkcji f w punktach p,.....p₅:

f(p,)=l/V2^ f(p.)= l/2e, f(_Pj) = l/2c, f(p₄)=0, f(p,)=2/e^<.

Ponieważ

0 < 2/e⁴ < l/2c< l/V2e.

więc maksimum absolutne (największą wartość) na zbiorze D funkcja osiąga w punkcie p, = (l/>/2,0) i jest ono równe \!4Tc. a minimum absolutne (najmniejszą wartość) na zbiorze D funkcja przyjmuje w punkcie p₄ =(0,0) i jest ono równe 0.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

I. Wykazać, że funkcja z = z( x,y) nie ma ekstremów lokalnych:

a) z=x⁵ + xy^:-y³ + 2y_t b) z = yc^I>"*\

1 - «^z c» z = y + lny — ln(l + x²),    d) z = y^:-4y—p=,

y

c) z=x^:ln(3+y²)-y.    f) z=y-x²-ł-ln(4-y²),

g) /=-p^-ln(l+x³-y),    h) z=-^7-

Sprawdzić, że funkcja z = z(x,y) w punktach p, i p, nie ma ekstremów lokalnych, gdy:

- * V*

a)    z=(x^: + y)e ² , p,=(0,0), p_:=(0,l),

b)    z = x^:y-x + y-ye*^r , p,=(0,-l). p₂ = (l,0),

c)    z=x⁴ + y⁴ + xy^:-*-x^:y-2y²-x. p,=(0.0). p₂=(0,-l),

d)    z = 2x$iny + y^:+cos^:x, p,=(TX,n). p_:=(0,n).

Wykazać, że funkcja z = z(x,y) ma w punkcie p„ ekstremum lokalne i określić, czy jest to maksimum czy minimum, gdy:

a) z = ^ + i + y, p„ = (l.l),

b)    z = y + 2x^: -xy^:- x²y-x⁴ -y⁴, p₀ = (1.0),

c)    z=x⁷ + xy* + y⁵ + x^f — 13x — I ly. p₀=(l,l),

d)    z = ye" " • , p₀ = (0.1/2).

e)    z=ycos^:x-cosy f x^:-y, p₀ = (0,n).

Sprawdzić, w którym z punktów: p,. p_;, p₅ funkcja z = z(x,y) ma ekstremum lokalne, gdy:

a)    z = 2x' - 2y* + 3x^: - 3y\ p,=(0.0), p_; = (0.-l). p,=(-I.O),

b) z = xy +    p,=(-U)_t p_: = (-I.-D. p,=(U),

x y

c)    z = (2x-t-y^:)e"^:*^:.p_l =(-1/2,0), p,-<1/2.0). p₃ = (0,0).

Znaleźć, o ile istnieją, ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem: a) z=x^: +2/ +2xy-2x,    b) z= x⁴ + 2y²-4xy+l.

c) / = 6x^:y-4x ‘ -y^: -4y-3,    d) z=x³-y³+3xy.