Matematyka 2 7

96 II Rachunek różniczkowy funkcji widu zmiennych

W szczególności, gdy f( p,) f( p_:) < 0, to w pewnym punkcie p₀ tego obszaru f(p₀) = 0.

WŁASNOŚĆ I

większej wartości). Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym { ograniczonym D, to jest ona ograniczona, przy czym osiąga na tym ó szarze swoją wartość najmniejszą i największą. to znaczy

V A f(p,) $ f(p) < f(p,).

p,.p,dD p«d

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1. Obliczyć:

u.>hho.iii x-y

a) lim "^xy

• »-*i-i.o x^: + y^:

c) lim —r-

U.y Mt0.il y^: + |

b) lim ——

d) lim -=^

lx.ył »<0.0l X² +y^: ’

0 lim

2. Wykazać, że funkcja z = f(x,y) nie ma granicy w punkcie

Po=(x₀.y₀).gdy^:

r-1

a) f(x,y)*-~— x* + y

Po=(0.0).

3. Obliczyć:

a) lim (lim ^x- ■^N »-*o wox-y

x-*o y-*o x* + y' y*o *-*o x‘ + y

b) lim (lim ^X; * ^X.), lim (lim

*-*o Hx‘+V v-*o *-*o v* -+■ v*

c) lim (lim ,), lim (lim —

,_♦! y__j_x-_y-    y—I —I x*-y

4.

/badać ciągłość funkcji f ze względu na każdą zmienną oddzielnie w punkcie p_o=(0,0), gdy:

b) f(x,y) =

c) f(x,y) =

X -y	(x,y)*(0,0).
x* +y*
0.	(x.y) = (0,0).
2 2 x — y	(x,y)*(0,0).
x +y
I.	(x.y) = (0,0).
x^ł -xy i *	(x,y)*(0.0).
x* + y*
0,	(x.y) = (0,0).

a) f(x,y)

Wykazać, że funkcja f jako funkcja dwóch zmiennych jest ciągła w punkcie p₀, gdy jest określona wzorem a) oraz nie jest ciągła w p₀. gdy jest określona wzorem b) lub c)

Odpo» icdzl

1    n)-I, b)0. c)-3, d) tcc. e)0. f)-«o.

2    W$k Obliczyć granicę ciągu (f(x„.y„)) na przykład dln ciągów

^{31    b>}    <n-^l+-T>"

n n n n    n n n n

=)    <"^,+r-7>' ^d>

nn    nn    nnnn

3    a) I. -I; b)1;0. c)-1/2; 1/2.

4    a) ciągła « względu na każdą ze zmiennych w punkcie fO.O) gdyż t'| x,0) = x*. x cR oru/: f(0.y) = -y^:. yeK:

b)    ciągła /t względu na x. gdyż f(x.O) =1. x e R. nic jesi ciągła ze względu na y. gdyż f(0,yj= I dla y 5=0 i f(0,y)-l dla v = 0

c)    ciągła ze sszględu na każdą/e zmiennych, gdyż f(x.O) = x. x s R oraz f(0.y) = 0. y eR