Matematyka 2 7

I 16 II. Rachunek róinicskawy funkcji m idu zmiennych

Twierdzenie 6.1 urzeka, że dla funkcji mającej pochodne cząstkowe I rzędu, zerowanie się tych pochodnych w pewnym punkcie jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w tym punkcie.

Oczywiście funkcja może mieć ekstremum lokalne w punkcie, w którym nie ma pochodnych cząstkowych. Na przykład funkcj

z= ^fx“ + y~ ma w punkcie (0,0) minimum, a jednocześnie w tym punkcie nie ma pochodnych cząstkowych.

7 twierdzenia 6.1. wynika jednak, ze tunkcja mająca pochodne cząstkowe na pewnym obszarze może mieć ekstrema lokalnie jedynie w tych punktach, w których obie pochodne cząstkowe są równe zeru. Punkty te nazywam} punktami stacjonarnymi funkcji

PRZYKŁAD 6.1 Wykażemy, że funkcja f(x,y)=y + x^: + ln(y-x) me ma ekstremów lokalnych.

Funkcja f określona jest w każdym punkcie półpłaszczy D=^r{(x,y)eR²: y>x} i w każdym punkcie lego obszaru ma pochodne cząstkowe. Zatem ekstrema lokalne tej funkcji mogą istnieć jedynie w punktach, w których obie pochodne cząstkowe są równe zeru. Obliczał więc pochodne cząstkowe funkcji f i rozwiązujemy układ równań: f'=0. fy = 0,czyli

= 0,

2x -

y-x 1 —!—=o.

v — x

Jedynym rozwiązaniem tego układu jest punkt p„ = (-1/2.-3/2), który nie należy do dziedziny danej funkcji. Oznacza to. że funkcja f nie ma ekstremów lokalnych.

Zerowanie się pochodnych cząstkowych mc jest jednak warun-* kiem wystarczającym istnienia ekstremum, o czym przekonuje nas pi kład funkcji z(x,y) = x²y. Dla funkcji lej mamy: z'j0.0)=0 z'(0,0) = 0 i z(0.0)- 0. Jednocześnie łatwo widać, żc na każdym otoczeniu punktu (0.0) funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie (gdy

y >0 i x*0) i ujemne (gdy y<0 i x*0), a zatem funkcja z = x^:y nie ma ekstremum w punkcie 10,0)

Warunek wystarczający istnienia ekstremum Załóżmy, że funkcja f zmiennych x i y ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na pewnym obszarze D (krótko: f jest klasy C^: na obszarze D). Funkcję W określoną wzorem

W(x.y)= f" (x.y)f"(x,y)-(f"(x,y))^J. <x,y) eD,

nazywamy wyróżnikiem funkcji f.

TWIERDZENIE 6.2. Jeżeli funkcja f jest klasy C* na pewnym otoczeniu U punktu (x₀,y₀) oraz

U f*(x₀.y_o) = 0. fJ(x_<łty_H) = 0_f

2)    W(x₀,y₀)>0,

to funkcja f ma w punkcie (x₀,y₀) ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum, gdy f_t" (x₀,y₀) < 0 lub minimum, gdy

f;,(x₀.yo)>o.

Dowód Z ciągłości pochodnych f"_x, f_x'_v i f”_y na otoczeniu

U wynika również ciągłość wyróżnika W na tym otoczeniu. Ponieważ W(x_o,y„)>0, więc (zgodnie z twierdzeniem o lokalnym zachowaniu znaku) istnieje takie otoczenie U₀cU punktu Po=(x₀,y₀), że W(x,y)>0 dla każdego (x.y)eU₀. Ponadto zauważmy, że f"_x *0 dla (\.y)eU„ (gdyż w przeciwnym razie w punkcie, w którym f." = 0 mielibyśmy W( x, y) < 0).

Niech p=(x₀+h,y₀+ k), h^: + k‘ >0, będzie dowolnym, różnym od p₀, punktem otoczenia U₀. Z twierdzenia Taylora (dla n = 2) wynika, że istnieje liczba 0 6(0.1) taka. że

f(x_o + h,y_n + k)-f(x_o,y_o) = df(x_oły_o)+4d²f(x_o + 0h,y_o+ek). Ponieważ f,'(x_o.y₀) = 0 i ę(x_o,y_o) = 0. więc

(1) f(x₀ + h,y₀ +k) - T( x₀,y₀) = h £h² + 2 f"hk + ę;k²) =

*

=5^r((f:;h-Hf';k)^:+k-w,.

* ¹ x»