Matematyka 2 9

108 II. Rachunek rgjriiczkiiwy funkcji wielu zmiennych

Różniczka funkcji dwóch zmiennych. Załóżmy.

żc funkcja f dwóch zmiennych \ i y jest określona na pewnym otoczeniu U(p₀) punktu p₀ = (x₀,y₀). Załóżmy, żc Ax i \> są takimi przyrosłam i zmiennych x i y. że p = (x₀ + Ax .y₀ + Ay) € U( p_g), przy czyni I Ax r + (Ay)^: > 0 Różnicę

Af ⁼ t(Xq + Ax,y₀ -f Ay) ~ f( x^,y₀) = ffp)^— F(p„)

nazy\vam> przy rosłem funkcji f między punktami p i p₀-

Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe w dowolnym punkcie p € U( p„).

Różniczką zupełną (krócej różniczką) funkcji f w punkcie p_n i x₀,y_n i dla przyrostu Ap = i Ax. Ay i nazywamy wyrażenie

Po) = f_x'( P₀ )Ax + f,'( p_n )Ay.

Przyrosty Ax i Ay są często oznaczane symbolami dx i dy. a różniczka - skróconym symbolem df:

df = f' dx + fy dy.

Na przykład dla funkcji z(X,y) x^:e ^ł> w dowolnym punkcie (x,y) cR^: mamy:

dz = (2x-x^:y)c ^xydx-xe "My.

TWTERDZENIF. 5.3. Jeżeli funkcja f jest klasy C na otoczeniu U(p„) punktu p₀=(x₀,y₀) oraz przyrosty dx i dy są takie, że

(x_D+dx,y_n + dy) eU(p₀), to

lim

Af-df

(dy)²

= 0.

Twierdzenie to pozwała dla małych przyrostów dx i dy przyro Af funkcji z dużym przybliżeniem zastąpić różniczką dl Stąd o trzy m jemy wzór przybliżony

Af 2s df

i w konsekwencji

(5.7)    f(x₀4-dx.y₀ + dy)* f(x₀,y₀) + f'(x₀.y₀)dx-ł-r_>^,(x_o.y_ll)dy.

Oczywiście przybliżenie będzie tym lepsze, im mniejsze będą przyrosty dx i dy. Co więcej, z twierdzenia 5.3 wynika, że błąd jaki popełniamy stosując wzór_(5.7) 'dąży do zera szybciej niż odległość

p= yj(óx)² +(dy)² punktów (x₀.y₀) i (x₀ + dx,y₀ + dy).

P R 7. Y K i. A I) 5.6 Stosując wzór (5.7) obliczymy przybliżoną wartość }J( 1, 12)‘ + 3,2

Niech f(x,y) = ^x‘+y, x„ -1, y_u =3, dx=O.I2. dy =0.20

Wówczas df = ^x- dx--dy.

yjx²-fy    2_v'x^:+y

f( 1,3) = 2. df = 0,5 0,12 + 0,25 0,2 = 0,11.

Zatem yj(\MY + 3,2 = 2+0,11 = 2,11.    ■

Załóżmy, że funkcja f zmiennych x i y jest klasy C* na pewnym obszarze Dc=R\ Wówczas, przy ustalonych przyrostach dx i dy , jej różniczka

df = fi(X,y)dx-ł-fJ(x,y)dy, p = (x.y)eD

jest również funkcją zmiennych x i y na obszarze D.

Różniczkę różniczki df. przy ustalonych przyrostach dx i dy nazywamy różniczką drugiego rzędu funkcji f i oznaczamy d^:f(p) lub krócej d²f. Zatem

d'f = d( df) = d( f'dx + fydy) =

= (f",dx f f;_xdy )dx + (f;_ydx + r;;dy)dy =

= f ” (dx r +: f"dxdy + f;;_v (dy r -Ostatni wzór przypomina niewątpliwie znany z algebry wzór ta + b)^; = a^: + 2ab+ b‘ i zapisujemy go w sposób umowny w postaci

d^:f = (f;dx + f;dvp lub

d-’f = (4^dx+^-dv)^i:,f. c?x cy

Przyjmując oznaczenia: (dx)^: =dx^:. (dy)“ = dv^: otrzymujemy