Matematyka 2 9

I5S III. Ruchuitck unikowy /unkijł wielu zmiennyt h

I5S III. Ruchuitck unikowy /unkijł wielu zmiennyt h

e-

.lakobian tego przekształcenia jest równy r. Z rysunku 3.5 a) odczytuj my, żc rt<0.1>, tpe<-!J. *>. Stosując wzór (3.5)otrzymujemy:

f|\/x‘ + y dxdy u

x - rcosip. j-rninip, J-r N- !lr.*j«) 0<rśl a —

I    h/2

= Jl jV^:di|>|dr= J:tr~dr= j.

II -z.2    i)    4

a)

Rys 3.5

b> Obszar L) (rys 3.5 bu jest połową pierścienia o środku (0.0) i promieniach r,=2, r_: =3 Całkę obliczymy stosując zamianę zmiennych x i y na współrzędne biegunowe r i Z ry sunku łatwo odczytujemy, /e re<2.3>.    e<0,n> i obliczamy:

JJ( x~ t y* )d\dy -

u

x = reosep,    y-rsin<jł, J = r |

\-,'(r.o): 2<r<3 * 0<ę><X] f

= jj(r cos*q> t r^:sin^:»|>)rdrdtp- Jjr'drd<p = |[ JVd<pjdr=

A    A    2 0

■= |itr¹dr=^n

2 2

+    zawartą w

4    1

tym zastosujemy dwu-

c) Obszar całkowania Djest połową elipsy

półpłaszczyźnie x>0 (rys 3.5 ej). W przykładzie krotnic zamianę zmiennych:

JT(x-y^:)dxdv=    > _^J,    I = ff(2u-v^:)2Uudv^

JJ    \| - IiuaI: u +> <1 u>OJ| JJ

| u = rcoso. v - r*int$. Jtr j N-!(r.«,n «l<r< I a

-2 [J(2rcostp-r'sin'ip)rdrd(p-

*•*3 i

-2 J[[(2r‘cos(p r sin^:(pKlr|d«:ł - 2 J'(-jcos<p~sin“ <p)d«p =

^_4. i i.r- s TT _Ts.n    -

PRZYKŁAD 3.4 Obliczymy całki:

a)    JJxdxdy • gdy l)= |(x.y)eR²; x² -ty²-y<0 a x<v|.

D

b)    jjxdxdy .gdy D = }(x,y)eR²:y<x²+y² <9a(x>0v>>0)| .

n

a) Obszar D jest l:i częścią koła o środku u punkcie (0.1/2) i promieniu równym 1/2 która jest /awaria w półplaszczyżnie y>x iry s 3.6 a)). Zastosujmy zamianę zmiennych x i y na zmienne r i tp: \ rcostp, y=rsin<p Z rysunku łatwo odczytujemy, że ipe<ir/4.;r> Zakres zmienności r znajdujemy (uwzględniając, że sin<p> Odia o e< it/4,;t> oraz r > U ) z równoważności:

x*^y²-v<0 r^?-rsimp£0 <r> nrsin(pi<0 <=• 0<r<sm<p Mamy więc

ffxdxdy -, _v ,r^,cm^r_<^nmo;,!\’    - ffr"cosifldrdiB =

JJ ^J I    n/4Ł«p^ir a OirisimpJI JJ

48

s

TT 4

a Mno    s

= fł fr'cosipdrldip -y Jsin³q>cos<pd(p= --sin⁴ip

m/4 o    k/j