Matematyka 2 9

118 11 Rachunek różniczkawy funkcji wielu zmiennych

przy czym występujące tu pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f. a także wyróżnik W obliczone są w punkcie (x_n + 0h,y_o -Ok). Ponieważ W >0 oraz przynajmniej jeden z przyrostów h lub k jest różny od zera, więc

(2)    <f£h+ę;k)²+k²w>o.

Załóżmy, że f" (x„,y₀) <0. Ponieważ jest ciągła i różna od zera na otoczeniu U„. więc przyjmuje ona wartości ujemne w każdym punkcie tego otoczenia. Stąd

(3)    C(N, + 0h,y_o-»-0k)<o.

Z (1). (2) i (3) otrzymujemy, że f(x₀ + h,y₀ -► k)- f(x₀,y₀) < 0. Zatem

A np)-f(p„)<o.

reUiPuMrpi

a to oznacza, że funkcja f ma w- punkcie p₀ =(^xn*>'«) I maksimum lokalne właściwe.

Analogicznie, gdy f",(x_o,y_o)>0 otrzymujemy, ze funkcja f ma W punkcie p₀=(x_o,y_o) minimum lokalne.

Podobnie, korzystając ze wzoru Taylora, udowadniamy

TWIERDZEŃ IF. 6.3. Jeżeli funkcja f jest klasy C* na pewnym otoczeniu U punktu (x₀,y₀) oraz

0    f;(x₀,y₀) = o. f;(*₀.y«) = o,

2)    W(x₀,y₀)<(),

to funkcja f w punkcie (x₀.y₀) nie ma ekstremum.

Natomiast w przypadku gdy w punkcie stacjonarnym funkcji wyróżnik jest równy zeru. funkcja może mieć, ale nie zawsze ma. ekstremum. Jest to tzw. przypadek wątpliwy, którym nie będziemy się zajmować. Rozstrzygnięcie, czy' istnieje wtedy ekstremum funkcji, wymaga badania pochodnych cząstkowych wy ższego rzędu lub korzystania bezpośrednio z definicji.

PRZYKŁAD 6.2 Sprawdzimy, w którym z punktów: Pi =(-1,0), P2=(0,0), p₃ = (1.1) funkcja

z = x⁷ + 2xV + y° + x^? -16xy ma ekstremum lokalne.

Rozważana funkcja jest klasy C° na płaszczyźnie R^:. Obliczamy pochodne cząstkowe I i II rzędu.

z^ = lx⁽' + 4xy⁵ + 5x⁴ -16y.    z'. = I Ox‘y⁴ + 6y - 16x ,

z^ = 42x⁵ 4 4y⁵ + 20x³. z^ = 20xy⁴ -16. Ą_y = 40x V + 30y⁴ Sprawdzamy najpierw, czy w punktach: P1.P2.P3 spełniony jest układ równań: z^ = 0, z\=0, czyli

|7x⁶ + 4xy⁵+5x⁴-16y = 0.

110x²y⁴ + 6y⁵ - I6x = 0.

Punkt p, =(-1.0) nie spełnia tego układu, zatem funkcja w punkcie p. me ma ekstremum (me jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum). W punktach p_;=(0,0), p₃ = (U) układ ten jest spełniony, zatem funkcja może tchoc me musi) mieć w tych punktach ekstrema lokalne Obliczamy wartość wyróżnika W(x,y)=z^z^ -(z",)^: w punktach pi =(0,0) 1 p, = (l,l) Ponieważ

z'^(o.o)=o,    z';_y(o,o)=-i6.    z;;(0.0)=o.

z:_ł(U)=66,    z"_y(U)=4,    z”.(l,l)=70.

w ięc

W(p₂ )= W(0.0)=-256<0,    W(p₁)=W(l_tl)=4604>0.

Stąd wynika, że w punkcie p_; =(0.0) rozważana funkcja ekstremum nic ma. Natomiust w punkcie p. =(1.1) funkcja ta ma ekstremum lokalne 1 jest to minimum, gdyż z^(I,l)>0. Obliczamy: z_m(n =z(l,l) = -l 1.    ■

PRZYKł.AD 6 3. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem:

a) z = (x* -y* )c'. b) z = x’-2x^: +y- n(y-x^:).

a) Funkcja ta jest funkcją klasy C' (a więc również C^:) na zbiorze R^:, przv czym

z; =(2x + x^:- y¹ )c^x, z’ = -2ye'.

*Ł=(2+4x + x²-yV, z" = -2yc\    =-2e\