Matematyka 2 5

134 11 Rachunek różniczkowy funkcji wielu ^niemych

równanie x^J + y² +z^: -4-0 określa na kole K - {(x,y) eR‘: x^: • y* <4| dwie funk-

x* + y £ ■+• I - 0 nic określa żadnej funkcji uwikłanej.

Zainteresowanych zagadnieniem funkcji uwikłanych wiciu zmiennych odsyłamy do obszerniejszych podręczników

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1. Znaleźć pochodną y'(x) funkcji uwikłanych określonych równaniami:

a) x^: + y³ + xy⁵ + l = 0.

c) x⁴ +y^J -x^: -y³ =0, c) xe* ^y -y = 0,

b) x²y-»-lny-2x = 0,

d) x-y + ln(x² + y^:) = 1, 0 xsin(x-2y)-y = 1.

2.    Sprawdzić, że podane równanie określa funkcję uwikłaną y = y(x) taką, że y{x₀) = y„, a następnie obliczyć y'(x₀) i y"(x₀):

a)    x-e^2y+ye*"¹ =0, y(l) = 0,

_b)    e^3y-ł -y³+x=2, y(2) = 1,

c)    xy+ cosx-siny = 1, y(0) = 0,

d)    e‘y^: — xe*^J — y = 0, y(0)=l,

e)    x^: ln(ł+ y²)-y^ł+ lnx-i-2y = 0, y(I) = 0.

3.    Sprawdzić, że równanie y + x²-ycos^: x + siny = 0 określa na pew-n>m otoczeniu punktu x„ = 0 dokładnie jedną funkcję uwikłaną y = y(x), dla której y(0) = -7t. Wykazać, że funkcja ta osiąga w punkcie x₀ = 0 maksimum lokalne

4.    Sprawdzić, że równanie ye^ł> -xV +x‘-xy³-l = 0 określa na pewnym otoczeniu punktu x₀ = 0 dokładnie jedną funkcję uwikłaną y=y(x) taką, że y(0)=l. Wykazać, że funkcja ta ma w punkcie x₀ =0 minimum lokalne.

5.    Wykazać, że funkcja y = y(x) dana równaniem

xln( l + y^: )+y³ ln(2x-x^:)+y + x³ -x = 0

i spełniająca warunek >10 = 0 jesi na pewnym otoczeniu punktu x₀ = I funkcją malejąca, a jej wykres jest krzywą wklęsłą.

Sprawdzić, że przez punkt (!,l) przechodzi dokładnie jedna funkcja uwikłana y = y(x) dana równaniem

y* ln(2-x^:)-xlny + x -y = 0.

Wykazać, że na pewnym otoczeniu punktu x₀ = ! funkcja la jest rosnąca, a jej wykres jest krzywą wklęsłą.

Sprawdzić, że równanie xe^x> +ye‘ +x + y‘ = 0 określa na pewnym oloezeniu punktu y₀ = 0 dokładnie jedną funkcję uwikłaną x = x(y) taką, ze x(0)=-l, a następnie obliczyć x'(0) i x"(0).

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych >' = y(x) określonych równaniami:

a) x² 4-y²-2x-2y 4-1 = 0.    b) c^xv -xy 4-2y -3 = 0,

c) x^:-2xy-3y^:-2x-6y4-1 = 0. d) x ‘ + y³ - 3xy = 0,

e) x⁴ 4-y² =4xy,    0 x^:ły² + (x4y)^:=6,

g) 2x⁴ 4-3x^:y-2x^:4-y²-y = 0.    h) x⁴ -2x‘-y^;-4xy +1 = 0,

i) x⁴-x^: -y^: -y = 0,    j) x⁴-2x^:y-x² 4-y²4-y = 0.

lpowiedii.

.>y~

3y* ♦ 5xy    x*y +1    yt2y^£ -1)

_d>    _clv.₌_±Ll_ _n sin(x-2y) + xem<x-2_y)

x^: ♦ y³ -2y ’    x + c» *’    l + 2xcos(x-2y)

a) y‘(l) = l, y"(l)=-2; b)y‘(2) = 0. y"(2) = l; c)y^,(0) = 0, y*^f(0)=-l.

d)y‘(0) = 0. >-(0)=!; c) y'(l)=-l/2, y'*(t)=l/4

a>y~.(D = 2. >^(1)^0; b)_yin„(0)=t; c) y«_no(t) = 0, y_w(-t)^-2;

d) ymx»f-V2> =    ; ć)    = .VI,    “-3^3; f)y.JI) = -2.

y«M)“2; g) y^tOl^O. >^(0)=!; h)y._(ll(l)=0. y«,(-l)=0. i) y^toj^o. y_mm(0)=-l: J) y_imo(0)=0, y,_w(0)=-l