Matematyka 2 5

94 11 Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmtrnnyyh

lim f(p^,„) = i, lim f(p"_n ) = -=-•

B-*f i, n-** J

czał granicę w sensie wcześniej przyjętych definicji, czyli granicę dwójną.

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Załóżmy, ze dana jesi funkcja

f D->R, przy czym Dc R"

Załóżmy, że p„ należy do zbioru D i jest punktem skupienia tego zbioru.

Funkcję f nazywamy dągłą w punkcie p₀ eD, gdy ma w tym punkcie granicę równą swojej wartości, to znaczy

f jest ciągła w p₀ es lim f( p) = f(p„). *

Jeżeli funkcja nic jest ciągła w punkcie p₀ eD, to punkt ten nazywamy punktem nieciągłości funkcji.

Mówimy, żc funkcja jest ciągła na zbiorze A c D. gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Na przykład każda z funkcji

f(x,y) = x^:y-y\ g(x.y) = <Jy-x, h(x,y)= ,^X>-_T

x‘ +y

jest funkcją ciągłą w dowolnym punkcie swojej dziedziny. Natomiast funkcja określona wzorem

gdy x*’+y²<i, gdy x^: + y^: >1

jest ciągła na całej płaszczyźnie R^: z wyjątkiem punktów leżących na

okręgu X² +y² = I.

W przypadku gdy funkcja f(p) = f(x,.....x„) jest określona na

pewnym otoczeniu punktu p_(l i jest ciągła w tym punkcie, to funkcja ta jest ciągła w- punkcie p₀ ze względu na każdą ze zmiennych oddzielnie.

Na przykład, jeżeli funkcja 7= f(x.y) jest określona na pewnym otoczeniu punktu Pn = (x_a,y„) i jest w tym punkcie ciągła, to funkcja ę>(x) = f(x,y₀) jest ciągła w punkcie x₀ oraz funkcja v(y) = f(\o,y) jest ciągła w punkcie y„.

Jednakże funkcja ciągła ze względu na każdą ze zmiennych oddzielnie nie musi być ciągła jako funkcja wielu zmiennych, o czym świadczy następujący przykład*

PRZYKŁAD 4.4. Funkcja

*> ■> X' + y‘

(x,y)*(0,0), (x,v) = (0.0)

jest ciągła w punkcie p₀ = {U,0) ze względu na każdą zmienną oddzielnie. gdyż funkcje ip(x) = f(x,0) = 0 oraz \j/(y) = f(0,y) = 0 jako stałe są funkcjami ciągłymi. Jednakże funkcja f nie jest ciągła w punkcie p_;l =(0,0) jako funkcja dwóch zmiennych, gdyż (jak to pokazaliśmy w przykładzie 4.3. b)) nie ma granicy w tym punkcie. ■

WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH w pierwszym tomie tej książki, omawiając ciągłość funkcji jednej zmiennej, podaliśmy trzy ważne własności funkcji ciągłych: własność o lokalnym zachowaniu znaku, własność Darboux i własność Weierstrassa. Obecnie podamy analogiczne twierdzenia dla funkcji ciągłych wielu zmiennych Załóżmy, że

f: D-»R, Dc Rⁿ.

WŁASNOŚĆ 1 (o lokalnym zachowaniu znaku). Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie p₀eD i ma w tym punkcie wartość dodatnią (ujemną), to istnieje takie otoczenie U(p₀) punktu p₀. że funkcja f ma wartości dodatnie (ujemne) w każdym punkcie p e U(p₀)n D.

WŁASNOŚĆ II (Darboux - o przyjmowaniu wartości pośrednich). Jeżeli funkcja f jest ciągła na pewnym obszarze, do którego należą punkty p_t i p_;, to funkcja f przyjmuje na tym obszarze każdą wartość

pośrednią między f(p.) i f(p₂).