Matematyka 2 1

90 11. Rachunek, różniczkowy funkcji wielu zmiennych

de»

lim f(p) = g co A V A (0</ł(p_fp„)<8 =>p(f(p),g)<e).

c>0    S>0

P-*Pt

W szczególności, gdy funkcja f przyjmuje wartości rzeczywi w definicji Cauchy'ego można uwzględnić, żc

p(f(p).g)=|f(p)-gl,

a w przypadku gdy jest to funkcja n zmiennych rzeczywistych i

P-(x_|fx₂.....x_D), Po = (xj^,łx!.....xj),mamy

P(P'Po) = j£(Xt-X?f-1-1

Na przykład dla funkcji o wartościach rzeczywistych dwóch zmiennych rzeczywistych z = f(x.y), (x,y)eDcR^:, definic)

Cauchy'ego granicy w punkcie p_(l = (x₀,y₀) można zapisać jak następuj

der

I x.y(-K*_v,>oI

lim f(x,y)=g o

coA V A (0<7(x-x₀r +(y-y₀r <5 =>|f(x,y)—g|<E).

Ł>«    6>0 <x.y)tD

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych można mówić także o granicy niewłaściwej -ł-co lub -co Nu przykład:

DEFINICJA HEINEGO.

def

lim f(p) = +coc3> A((p_p eD-|p₀J,n eN a p„ -> p„)=>(f(p_n )-> -w>)M

t—»pj    ip«)

DEFINICJA CAUCHY'EGO.

Iimf(p)=4<n o A V A (0</7(p,p_o)<5=> f(p)> M).

p-»p„    M łl>0 peD

U waga Definiując granicę funkcji jednej zmiennej w punkcie p zakładaliśmy. zc funkcja jesi określona na pewnym sąsiedztwie tego punktu, u obecnie założyli- j śmy jedynie, zc p₀ jest punktem skupienia dziedziny rozpatrywanej runkcji. To "osłabienie" założenia pozwala nam na przykład rozważać granicę funkcji określonej na obszarze D w punktach brzegowych tego obszaru mimo. żc w żadnym sąsiedziwic takie-1 go punktu funkcja nic musi być określona.

PRZYKŁAD 41. Weźmy pod uwagę funkcję tp: R‘ -> R³ określoną wzorem <p(x_ły) = (x²y_t x+y, xy²-l). Korzystając z definicji Heinego wykażemy, że funkcja ta ma w punkcie p₀ = (l,-2) granicę g = (—2,—1,3).

Niech (p„) będzie dowolnym ciągiem elemntów przestrzeni R^: zbieżnym do punktu p₀, o wyrazach różnych od p₀. Ponieważ

(P„^ss(x_#,y_B)->(l,-2)) o (x_n —* 1 a y„ -* -2),

więc

lim<p( p„) = lim <p(x_n,y_n)= lim(x;y_n, x„ + y_n, x_ny; - I) = (-2,-1.3).

n-*x    n-w>    n-*t

Zgodnie z definicją Heinego oznacza to. że

lim q>(x,y)c(-2,-l,3).    ■

(s*h*v-a)

PRZYKŁAD 4.2. Niech

f(x.y)=4^J:^. (x.y)eD = R^:-K0,0)|. x^z + y*

Wykażemy, że

a) funkcja f ma w punkcie p_w = (2,-1) granicę równą 3/5; h) funkcja f nie ma granicy w punkcie p₀ = (0.0).

a) Niech (p_n) będzie dowolnym ciągiem w przestrzeni R' zbieżnym do p₀ = (2.-1). którego wyrazy należą do D - {p₀}. Ponieważ

(p_n = (x_n,y_n)-> (2,-1)) o (x_n -> 2 a y_n -> -1),

więc

limf(p„) = limf(x„,y„)= lim*; * ? = 4tt~7-

n-♦«    n-*x    o->x X + V ^ą    5

fi ^ u

Z definicji Heinego granicy wynika, żc

b) Niech

r-y² _ 3

i^Ha-DK^y² 5

lim

i 3

^Pn*⁽n^,n^{) 0ra7 p}‘’« ^{= (}n^tf^{) dlaneN}*