Matematyka 2 3

72 11 Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych

A = {X€R: a<x<b},a<b, B = jxeR: a<x<-ko)

są obszarami. Jednakże w przypadku przestrzeni R termin ten nie jest używany. W dalszym ciągu będziemy mówić o obszarach jedynie w przestrzeniach R^r, gdy n > 2.

W przestrzeni R' obszarami, na przykład, są: wnętrze koła. elipsy. dowolnego trójkąta Natomiast odcinek, czy prosta nie są obszarami, gdyż nie są zbiorami otwartymi w tej przestrzeni. Zbiór

A = {(x,y)€R²: l<x* <4 a — I<y< 1J

(przedstawiony na rysunku 1.4) także nie jest obszarem, gdyż jest wprawdzie zbiorem otwartym, ale me jest zbiorem spójnym.

Rys 1.4

W przestrzeni R‘ koło WTaz z okręgiem, trójkąt wraz z brzegiem są obszarami domkniętymi.

W przestrzeni R³ obszarami są na przykład: wnętrze kuli, prostopadłościanu lub stożka. Czasem używa się w tym przypadku terminu: obszar przestrzenny.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1.    Niech X = R x R i niech

dla dowolnych p,=(x,,y_l). p_; =(x_;,v_:) eX Wykazać, że funkcja p jest metryką i podać jej interpretację geometryczną

2.    Narysować kulę K(0.1) w przestrzeni metrycznej z zadania I.

3.    Podać po dwa przykłady zbiorów ograniczonych i zbiorów nieograniczonych w przestrzeniach R', R* i R

4 Podać po dwa przykłady zbiorow otwartych i zbiorów domkniętych w przestrzeniach R', R" i R .

5. Naszkicować zbiór A i wskazać punkty wewnętrzne, brzegowe i punkty skupienia tego zbioru, gdy:

al A= {x t R: 0<x^: <4|,    b)A = |xf^rR: 0< x^: -1 <3},

c) A- |(x,y)eR-: |x-l|<2J, d) A = {(x,y)eR^:: y² -1<3),

e) A = |(x,y)eR*: y > x^: vy = 0|.

0 A |(x.y) eR^:: 2x ♦ 3< x^: -t-y* <0),

g)    A = ((x,y) eR*: y <3x-x^: a y = x},

h)    A {(x.y) eR : x^: - 1 < y < x^:}.

ó Czy zbiór A może być zbiorem otwartym, jeżeli wiadomo, ze punkt p„ eA jest jego punktem brzegowym?

7    Podać przykład zbioru Ac R'. który nie ma punktów skupienia Czy może to być zbiór otwarty?

8    Podać przykład zbioru AcR\ którego każdy punkt jest punktem skupienia lego zbioru.

Podać przykłady podzbiorów przestrzeni R' i R", które nie są zbiorami otwartymi, ani też zbiorami domkniętymi

10    Naszkicować zbiory A_fct k = l.....7, oraz określić wnętrze lntA_k i

domknięcie A_k każdego z tych zbiorów, gdy

A - (x cR: 0£X‘<l), A_: = (xeR: -l<x£2}.

A, = [i x.y) eR² : I < x^: + 1 < 2). A_t - Hx.y)eR²: 0<|y + l|<l|. A. = |(x.y)eR‘: I<x<2 a -Vx <y <Vxb A₆ = {(x,y)eR²:    2<x<l a x*+2x<> <x + 2j,

A, -{(x,y)eR‘: 2x - l<x‘ + y² <2x)

¹1    Podać przykłady zbiorów AcR‘ takich, żc

a)    A jest obszarem,

b)    A jest zbiorem otwartym, ale nic jest obszarem.

O A jest zbiorem spójnym, ale nie jest obszarem.