matma0066

72    II. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Iloraz różnicowy funkcji / w punkcie x_Q więc równy współczynnikowi kierunków prostej wyznaczonej przez punkty P i Q. h - 0 mamy Q -P i w granicy otrzymujemy czną do wykresu funkcji / w pui P(x_Q,/(x₀)). Różniczkowalność funkcji / w kcie x_Q w interpretacji geometrycznej ozn zatem, że istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x₀ . Styczna ta ma równanie:

y-f[\) =/'W(*-*o)■

Pochodna /'(x₀) jest więc w interpretacji geometrycznej współczynnikiem kierur wym stycznej, czyli /'(x₀) = tg (a), gdzie a jest kątem, jaki tworzy zosią styczna do wykresu funkcji / w punkcie P(x₀,f(x₀)Y

Przykład H.2.1

Wyznaczmy równanie stycznej do krzywej y = 4x³ +2jc w punkcie o odcie *o = !•

Przyjmując, że krzywa jest wykresem funkcji f(x) = 4x³ + 2x mamy:

/(1) = 6, f'(x) = 12x² + 2 i /'(1) = 14.

Otrzymujemy stąd równanie stycznej:

y - 6 = 14(x — 1), czyli y = 14*-8.

B. Z definicji pochodnej funkcji jako granicy ilorazu różnicowego wynika przyhł żona równość:

f(x₀ + Ax) -f(x_Q) -f'(x_Q) Ax,

czyli:

f(x_Q + Ax) - f(x₀) +f'(x₀) Ax.

Błąd takiego przybliżenia jest tym mniejszy im mniejszy jest przyrost Ax . Pierw z wyrażeń pozwala oszacować przyrost wartości funkcji, a drugie nową wart funkcji przy zmianie argumentu z x₀ na x_Q + Ax.