Matematyka 2 5

⁷4 II Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

12.    Naszkicować zbiór A. a następnie odpowiedzieć na pytanie . c zbiór ten jesl obszarem (i dlaczego?):

a)    A = {(x.y) eK^:: x^: + y^: -2x<0 v x³ + y² + 4x < 0},

b)    A = {(x.y)eR²: 4x-3<x² 4-y² <6xJ.

c)    A = {(x,y)€R': y>x^:-l a y-x<0).

13.    Naszkicować zbiór AnB, gdy

A= {(x.y)eR^::4<x² + y² <9}. R = {(x,y)cR^:: 3x^: -y-3<0}, Czy zbiór A r\ B jest obszarem ?

14.    Naszkicować zbiór AnB, gdy

A = {(x,y)eR^:: l<x^:+y^:<4}, R=|(x,y)cR^: x-4v^:-l>0}.

Czy zbiór A R jest a) zbiorem domkniętym. b) ubsza domkniętym ?

O d |i o « I c d / i .

2. Wsk MO. 11 = |p *X:/ł(p,0)< I) - {(x.y) eX:|x|-4y|< 1}

10 Int A, = |x c R: 0 < x < I). A, = |x «;R:0ś x< I).

Im A_; — Jx e R; -1 < x < 21. A_: = A.:

Im Aj = {(x.y) cR:l < x^: M <2J = |(x.y) t R‘;~ I <x<0v0<x<l|,

A, = {(x,y)*R^J:-ISx<l}.

Im A, =Aj- |(x.y) cR-;-2 < y < -I v -I <y< 0|.

A., - f(x.y)eR^J:-2<y<0):

Im A ₅ - {(x.v) e R * -1 < x < 2 *--Jx <y < t/x| .

A; = ł(x.yl€R^::l<x<2 * - Jx <y

Inl A j = A _e. A₆ = {(x.y)€R^: - 2-Sx S I a x^: ^2xSy< x + 2|. lut A_? = |(x,y) fe R*;2x -1 < x' +y <2x} - {(x.y) eR^::0< (x - I r • v^:<l},

At = l(x.y|el< 2x I < x^: + y* < 2x| = |(x.y) cR :(x-l) ♦ y <1| Sporządzenie ry sunków pozosutwiumy Czytelnikowi 12. aj nie. bjtak, c) me. 13. mc. 14. a) tak. b) nie

2. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU W PRZESTRZENI

METRYCZNEJ

GRANICA CIĄGU. Niech (X,p) będzie dowolną przestrzenią metryczną, a (p_n) dowolnym ciągiem elementów zbioru X. Niech p₀ również należy do X.

Mówimy, że ciąg (p_n) ma granicę p₀ (lub: ciąg (p_n) jest /bieżny do p₀), co zapisujemy

lim p„ = Po lub P„-»Po Przy n-*co.

gdy ciąg (/>(p„.Po)) ^ma granicę równą zeru, czyli

def

(2.1)    limp_n = p₀ <=> lim p(p_n,p₀) = 0.

Ponieważ

l'm/?(p_n.p₍,) = 0 « A V A />(p_n.p₀)<£

n-**    *>0 K n>k

więc

(2.2)    lim p_n = po ce* A V A p(p_n.p₀)< e.

n-ł®    *>0 K n>K

Ciąg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.

Na przykład dla ciągu (pj, gdy p_n =(x_n,y_n ) eR^:, neN, ¹ Po = (^xo*yq)^eR2 otrzymujemy

gd>Z

PRZYKŁAD 2.1 Niech (p_n) będzie ciągiem elementów

Przestrzeni R², przy czym

n + 3 4