Matematyka 2 3

132 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

a) Przy oznaczeniu F(x,y)= 2x^J+x²y-v"+3y-2 = 0, mamy F; = 8x¹+2xy_f F_v'=x^:-2y + 3, F”=24x^:+2y

oraz

.    24x‘ +2y

Ux,y⁾ = --₃—

Najpierw rozwiązujemy układ równań F(x,y) = 0, F_t'(x,y)= 0:

(2x⁴ + x²y - y² + 3y - 2 = 0,

|8x³ + 2xy = 0.

Układ ten jest równoważny alternatywie:

(1)

2x^,l + x^:y-y^: + 3y-2 = 0, y = -4x².

lub

(2)

l2x⁴ + x^:y-y^: +3y-2 = 0,

(x = 0.

Nietrudno sprawdzić, ze układ (1) jest sprzeczny, natomiast układ (2) ma dwa rozwiązania x = 0, y = 1 oraz x = 0, y = 2. Sprawdzamy, żc Fy(Q.l 1=1^0 i F'(0.2) = -1 ^ 0. PomewaZ

1(0,!) =-2 < 0,    1(0,2)= 4 >0,

zatem funkcja uwikłana y = v(x) określona na pewnym otoczeniu punktu x_o = 0, dla której y(0)=l, ma w punkcie x„ = 0 maksimum lokalne równe I, zaś funkcja uwikłana y = y(x) taka, źc y(0)=2 ma w punkcie x₀ = 0 minimum lokalne równe 2.

Wynik ten oznacza, ze podane równanie określa na pewnym otoczeniu punktu x₀ = 0 dwie funkcje uwikłane y = y(x). Jedna z nich spełnia warunek y(0)= I, a druga >(0) = 2. Pierwsza z nich ma w punkcie x₀ = 0 maksimum lokalne, a druga ma w tym punkcie minimum lokalne.

Rozważane równanie jest równaniem kwadratowym ze względu na zmienną y i dlatego nietrudno jest znaleźć te dwie funkcje. Są to: y=l-x^:. xeR oraz y = 2 + 2x^:. x gR . Czytelnikowi proponujemy naszkicowanie wykresów tych funkcji.

b) Dla F(x,y) = e‘~ +e>-x + y-l mamy

Rozwiązujemy układ równań F(x,y)=0, F„'(x,y)=0, czyli c^x-,+c^y-x + y-l = 0,

Ponieważ drugie równanie układu jest spełnione jedynie dla x = 1, więc (wstawiając x = I do pierwszego równania) otrzymujemy układ równoważny postaci

u

Rys 7.1.

Pierwsze równanie tego układu jest spełnione jedynie (por. rys 7.1.) dla y = 0. Stąd wynika, że układ równań (1) ma jedno rozwiązanie: x = I, y = 0. Sprawdzamy, że Fy(1*0) = 2*0. Ponieważ. 1(1,0) = -1/2<0, więc funkcja uwikłana y = y(x) określona rozważanym równaniem i przechodząca przez punkt (1,0) ma w punkcie x₀ = I maksimum lokalne równe 0.    B

Podobnie funkcję ciągłą z-z(x,y) spełniającą równość F(x.y,z(x.y)) = 0 w każdym punkcie pewnego obszaru nazywamy funkcją uwikłaną dwóch zmiennych określoną równaniem F(x.y.z)-0. Na przykład równanie xy-t-2z-x* = 0 na obszarze R* określa jedną funkcję uwikłaną z = z(x,y) 1 Jest ona postaci z = (x^: - xy)/2. natomiast