Matematyka 2 3

172 111. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

3.

g>

6V2it.

	c) 20ti ,	d)|(27-5^5). c)	J2*.
wM.			1) 6

5. PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA CAŁKI PODWÓJNEJ W FIZYCE

W przykładach pokażemy wykorzystanie całki podwójnej do obliczania: masy, momentów statycznych, współrzędnych środka ciężkości i momentów bezwładności obszaru płaskiego.

PRZYKŁAD 5.1. Obliczymy masę prostokątnego arkusza blachy, której gęstość powierzchniowa p w punkcie (x,y) jest rów-na x²y, gdy brzegiem tego arkusza blachy są odcinki prostych: x = -l, x = 2, y = 0, y = 4.

Masa m obszaru D jest równa

(5.1)    m = |Jp(x,y)dxdy,

D

gdzie p(x,y) jest gęstością masy w punkcie (x_ty) eD.

Mamy więc

2 4    2    4

m= Jjx²ydxdy = J| Jx²ydy)dx =    Jx²dx- Jydy*24.    ■

I)    -i    o    -i o

Warto zauważyć, żc wzór (5.1) dla obszaru płaskiego jednorodnego D, to znaczy o gęstości stałej p w każdym punkcie tego obszaru, sprowadza się do znanego wzoru na masę: m = piD₍.

PRZYKŁAD 5.2. Obliczymy masę obszaru D = {(x,y)€R²: y²^xśl},

gdy gęstość powierzchniowy określona jest wzorem p(x,y) = x² + y².

Ze wzoru (5.1) mamy

i i

m- Jj(x²+y²)dxdy = J[ J(x^: +y² )dx]dy = —.

ly⁵

P R Z Y K I. A D 5.3. Obliczymy momenty statyczne M„ i M_y odpowiednio względem osi 0x i Oy obszaru D z przykładu 5.2.

Moment statyczny M, względem osi 0x obszaru D jest równy

(5.2)    M_x = jjyp(x,y)dxdy.

D

Mamy więc po uwzględnieniu danych z przykładu 5.2

i i

M_x = JJy(x² +y²)dxdy= J[ J((yx² +y³)dx]dy = 0.

u    -l y¹

Analogicznie obliczamy moment statyczny M_y względem osi Oy

l ł

M_y = jjxp(x,y)dxdy = |[ J(x ⁵ +xy² )dx]dy = ||.    ■

D    -I y^ł

PRZYKŁAD 5.4. Wyznaczymy współrzędne środka ciężkości obszaru D z przykładu 5.2.

Współrzędne x„y₄ środka ciężkości obszaru D są równe

M_v    M

<^5J> ^x>-^'

Z przykładu 5.2 i 5.3 mamy: m«*88/105, M,*0, M_y =40/63. Zatem środkiem ciężkości obszaru D jest punkt (25/33,0).    ■

PRZYKŁAD 5.5. Obliczymy momenty bezwładności B_x i B_y odpowiednio względem osi 0x i Oy obszaru

0={(x,y): x² + y £9}, gdy gęstość powierzchniowa p(x,y)=|x|.

Moment bezwładności B_x względem osi 0x obszaru D jest równy

(5.4)    B_x = JJy²p(x,y)dxdy.

D