Matematyka 2 3
142 III. Rachunek całkowy funkcji wiciu zmiennych
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.
I Korzystając z interpretacji geometrycznej obliczyć całki:
a) ||4dxdy. jeśli D={(x,y)eR2: xJ+y2<9},
D
b) Jj\/4x2 +4y2dxdy, jeśli D={(x,y)eR2: x:+y:<9}, o
c) j^4-y2óxdy. jeśli D= {(x.y) e R:: 0<x<M A-2<y<2}.
D
d) jjdxdy, jeśli D={(x,y)eR2: x: + y2+2x <0},
D
e) Jjdxdy. jeśli obszar D jest ograniczony krzywymi: y = x‘.
D
y=x3*
Odpowiedzi
I. a) 36ti; całka jest równa objętości waica kołowego o wysokości 4 i promieniu 3, hj 3671 ; całka jest równa różnicy objętości wulca i stożka o promieniu podstawy 3 i wysokości 6.
c) 2it: całka jesi rówirn połowie objętości walca o promieniu 2 i wysokości I.
d) 7t; całka jest równa polu kola o promieniu I.
I
c) 1/12; całka jest rówTia polu D|= Jfx2-x‘klx
0
2. WŁASNOŚCI I OBLICZANIE CAŁKI PODWÓJNEJ.
WŁASNOŚCI CAŁKI PODWÓJNEJ Podamy teraz kilka podstawowych własności całki podwójnej.
(1) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na regularnym obszarze Dc.RJ, W również funkcja kf. dla każdej stałej k. jest całkowalna oraz
JJkf(x,y)dxdy = k J Jf(x.y)dxdy
n D
(2) (addytywnośc wzglądem funkcji podcałkowej). Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na regularnym obszarze DcR', to również ich suma f + g jest funkcją całkowalną na tym obszarze oraz
JJ(f(x,y)+g(x,y)]dxdy= JJf(x. y)dxdy+ JJg(x,y)dxdy.
d D n
(3) (addytywnośc wzglądem obszaru całkowania). Załóżmy, ze regularny obszar Dc R; jest sumą dwu regularnych obszarów D, i D, nie mających wspólnych punktów wewnętrznych. lVówczas funkcja f jest całkowalna nu obszarze D wtedy i łydko wtedy, gdy jest całkowalna nu każdym z obszarów D, i D2, przy czyni
JJf (x. y )dxdv + JJf(X, y )dxdy = JJf (x. y )dxdy.
O, D, D
(4) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na regularnym obszarze D i f(x,y)>0 dla (x.y)eD, to
JJf(x,yklxdy>0.
L)
Krótko: całka podwójna funkcji nieujemnej jest liczbą nieujemną.
(5) (monotomczność całki podwójnej). Jeżeli funkcje f / g są < alkowalne na regularnym obszarze D c R2 oraz f(x,y)<g(x.y) dla (x.y) cD. to również
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka 2 5 144 III. Rachunek całkowy funkcji wiciu zmiennych JJf( x.y )dxdy ^ JJg( x, y )dxdy.
Matematyka 2 3 182 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 0(1,2), C(l,-i), c) j(x + l)yd/ .j
Matematyka 2 3 172 111. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 3. g>6V2it. c) 20ti , d)
Matematyka 2 3 72 11 Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych A = {X€R: a<x<b},a<b, B
Matematyka 2 7 146 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych PRZYKŁAD 2.1. Obliczymy całki pod
Matematyka 2 1 160 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 160 III. Rachunek całkowy funkcji
Matematyka 2 1 170 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 0 V = {(x.y.z)€R*: -lśz<l+7x:+y
Matematyka 2 1 180 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 12 (4r + l)5 -Mi 13 6 b) Okrąg x:
Matematyka 2 1 190 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennyyh y = x 1 od punktu (2 J) do punktu
Matematyka 2 7 III. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH1. OKREŚLENIE CAŁKI PODWÓJNEJ I JEJ IN
Matematyka 2 9 78 II. Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych W konsekwencji, dla n > K =
Matematyka 2 3 82 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennyi hy 2 O x Qlo ,1&) / X Rys 3.
Matematyka 2 1 110 II. Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych d2f = f”dx: +2f"dxdy + f;
Matematyka 2 3 112 II Rachunek różniczkowy’ funkcji wielu zmiennych c) f(x,y) = -y3 ? i X‘ + V* (x
Matematyka 2 3 132 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych a) Przy oznaczeniu F(x,y)= 2xJ
Matematyka 2 1 140 III. Rachunek calkuwy funkcji wetu zmiennych Interpretacja geometryczna Niech f
Matematyka 2 9 148 111 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Jj2xydxtJ^= jj2xydxdy+ Jj2xydxdy,
Matematyka 2 5 164 11! Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych4. ZASTOSOW ANIA GEOMETRYCZNECAŁKI
Matematyka 2 7 166 111. Rachunek całkowy funkcji me/u zmiennych D={(x,y)eR2: x:+y:<9}. a stąd,
więcej podobnych podstron