Matematyka 2 1

190 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennyyh

y = x 1 od punktu (2 J) do punktu (1,0).

d) Jycos(y-x)dx, jeśli K jest łamaną ABC o wierzchołkach K

A(0.0), B(2.2), C(2.-l).

W każdym z tych przykładów obliczamy zadaną całkę krzywoliniową zamieniając ją na całkę oznaczoną

a) Zgodnie z twierdzeniem 7.2 mamy:

fxdx+xydy -{* ^x'²™'-J    - ^} |x (t)=-2sint. y'(i)=2cosi

K

*    n

= J(2cos t( -2sm t) +4cos t sin i • 2cos t )dt = J( -2sin 2t+Xcos²1 sin t )dt =

0    ot

= [cOs2l-|cOb³t]_o =y .

b) Przypomnijmy, źc równania parametryczne .odcinka o początku w punkcie (x,,y,) i końcu w punkcie (x₂.y₂) mają postać

X = X, +(x₂ -X, )t, y= y, +(y₂- y, )t.    t e< 0.1 >

(dla t = 0 otrzymujemy początek, a dla l = 1 koniec tego odcinka).

Obliczamy

Jv^dx₊xdy

k

I    _f _ ,

= J(-2vT+8t+6(2-2l))dl = ^-|(.>/i+8t)³+12t-6l²J =|

c) Krzywą całkowania K (rys 7.6) można opisać równaniami parametrycznymi

x = t, y«r-l, ie<l,2>#

przy czym początek tej krzywej otrzymujemy dla 1 = 2, a koniec dla t -1. Zatem zgodnie ze wzorem (7.6) mamy

J(2-~^Hlx+^inxdy= J(2-^jliri-2l)dl- J(2-y+2lnt)dt = (2l-6lnt+2tlnt-2t)|ⁱ, =ln4

Rys 7.6

d) W przykładzie tym Q(x,y) = 0. Krzywą całkowania widzimy na rysunku 7.7. Zatem, zgodnie z (7.2) i (7.5). mamy

k    K, Kj

I    I

= 2.

= |4tcos0dt+J(2-3t)cos(-3t)*0dt = 2l

PRZYKŁAD 7.2. Obliczymy pracę W zmiennej siły F = [x.x) na łuku K paraboli y=x^: od punktu A(-1,1) do punktu B(3,9).

Zgodnie ze wzorem (7.3) mamy

W = fxdx+xdy-|^K:*’V^y:\^,'i‘^<"^U>l=

J    ⁷    X*(t)=l. y'(l)=2l

K    ¹

= Jc^ł+2,^J)dt=[it^J+y.^Jj_i=-y.

Analogicznie definiujemy i obliczamy całkę krzywoliniową skierowaną funkcji P(x,y,z), Q(x,y,z). R(x.y,z)po krzywej w przestrzeni R^J Jeżeli funkcje P. 0- R są ciągłe na łuku gładkim K: x = x(t). y = y(t). z=z(t), te<a.p>.