Matematyka 2 7

176_111 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych_

Kizywą daną równaniami parametrycznymi (6.1), w których funkcje x(t), y(t) są ciągłe na przedziale <u.p>, nazywamy krzy wą kawałkami gładką, jeśli nie ma ona punktów wielokrotnych i daje się podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich.

Punkty (x(a),ylu)), (x(P),y(p)) krzywej danej równaniami parametrycznymi (6 1) nazywamy końcami tej krzywej. Jeśli te punkty pokrywają się. to krzywą nazywamy zamkniętą

Krzywa K, która jest wykresem funkcji klasy C¹ y = y(x),    x €<a,b>,

jest lukiem gładkim, gdyż równania parametryczne tej krzywej możemy zapisać w postaci

x = U y=y(t). t e < a, b >,

a wtedy łatwo widać, że różnym wartościom parametru t odpowiadają różne punkty krzywej K. funkcje x(t), yt t) są klasy C¹ oraz

(x'(t))² +(y'(t))^: = I +<y'(i))² >0.

Dla przykładu: a) krzywa K: x=t.y =v7 t e< 1.4 > jest lukiem gładkim (co to za krzywa?), b) krzywa K: x-t. y=|łU tec-1.4> nie jest tukiem gładkim (funkcju > —:t| nie ma pochodnej w punkcie t=0; co to za krzywa?); krzywa ta jest sumą dwóch luków gładkich K.,: x = l, y-1. I e<0,4> oraz K_: x=t, y=-t, 1^<-I,0>. krzywa K jcsl krzywą kawałkami gładką.

Określenie całki krzywoliniowe.! niekierowanej Niech f będzie funkcją określoną na łuku gładkim K o końcach A i B Podzielmy łuk K punktami A=A₀,A„A_2t...,A_lH,A_l,=B

na n łuków częściowych /,. /₂    , gdzie /j = Aj_,Aj, i = 1,2.....n ,

(rys 6.1).

Rys 6.1.

Niech % o/nac/a długość łuku częściowego /,, i = 1,2.....n

I.jczbę 6„ = maxłA/,,A/_:.....AJ_n) nazywamy średnicą danego podziału.

Nu każdym łuku częściowym /* obierzmy punkt pośredni (x,,y,) i utwórzmy sumę

n

^s«=X^frxi*y,^,A<-

Utwórzmy następnie normalny ciąg podziałów łuku K na łuki częściowe, to znaczy laki ciąg, że Ó_n ->0 przy n-> =c. Ciągowi temu odpow iada ciąg (S„). Rozważmy granicę

n

lim S_n= lim Y f(x₁.y_i)A/₁.

n-**'    n *r yJ*

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów luku K i każdego wyboru punktów pośrednich (x_t,y₍) istnieje ta sama skończona granica Ciągu (S„). to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową nieś kierowaną (niezorientowaną) tunkeji f po luku K i oznaczamy sy mbolem

Jf(x,ykl/.

K

Zatem

«ki

jl(x.y)d/

K

Załóżmy, że krzywą kawałkami gładką K można podzielić (por. rys. 6.2) na łuki gładkie K,.K_:. ..,K_n. Całkę krzywoliniową nieskierowaną funkcji f po krzywej K określamy równością

ćcf ¹¹

Jf(x.y)d/ = ^ Jft x.y )d/.

K    K,

TWIERDZENIE 6.1 (warunek wystarczający istnienia całki krzywoliniowej nieskierowanej). Jeżeli f jest funkcją ciągłą na łuku

gładkim K, to całka krzywoliniowa |f( x.y )dJ istnieje.