Matematyka 2 !3

212 111. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

I ni2    _ i

= |[ 12r³i/l-P&p 1 dr = iJsr³Tl^dr = f-n

O o

Rys 8.5.

PRZYKŁAD 8.4. Obliczymy całkę

JJJ Iyjx² + y^: dxdy dz,

v

jeśli V jest obszarem przestrzennym ograniczonym powierzchniami: z = -4, z=3, x^:+y²«l, x'+y^: = 16,(rys8.6).

Ponieważ

V = {(x.y,z)eR³: -4<z<3 a (x,y)eD),

D=ł(x.y)€R²: l<x²+y²<16},

więc

JJJz^x^: + y^: dxdydz = JJ[ jz^x² +y²dzjdxdy=-^ J|7x² +y²dxdy =

v    D -4    o

A    I 0

4

= -7n|r^:dr = -147ir.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1.    Korzystając z całki potrójnej obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami:

2)z=-2, z=7x^:+y². x^: + y^: = 9.

b)z=0, z=x+y-l, x~+y²+2y=0

2.    Korzystając z całki potrójnej obliczyć objętość bryły V, jeśli:

a)    V = {(x,y,z)eR³: x>0,y>0 a x^:+y^: <9 a Ośz<x + y+l},

b)    V={(x,y,z)eR^v: x<y a 0<z<4-x²-y^:}.

3.    Obliczyć masę półkuli V= {(x,y.z) eR³: z>0 a x^:+y^:+z*<ló} , której gęstość w każdym punkcie (x,y»z) jest równa p(x_ty.z), jeśli: a) p(x,y,z) = z. b) p<x,y,z) = z\ c) p(x.y,z)=y*\

4.    Obliczyć całki potrójne:

a)    JJjxydxdydz,gdy V= {(x.y,z)eR‘: x,yżOA 0*z£6-2x-y}, v

b)    JJJzdxdydz, gdy

v

V= {(x.y,z)eR³: 0<z<^x²+y^: a x²+y²+2x£0},

c)    JJJ(x + y)d^xdydz.jeśli V= |(x,y,z) eR': x^: + y^:-1 l<z<-2}, v

d)    JJJ(^x+y)²dxdydz.jeśli V = {(x,y,z)eR¹: -2^z<7-x^:-y²}, v

e)    JJJzdxdydz.jeśli V= {(x,y,z)eR³: y²<x<6-y a 0<z<Vx}. v

Odpowiedzi.

1.    a) 36* . b) 2* , wsk V= {(x,y,z): x + y-ISzS0 a x^: +y^: +2y<0|

2.    a)    , b) 4*

3.    a) 64*. b)-^4⁵. c)^-4⁵.

4.    a) -y-» b)|. «)0. d) . c)