Matematyka 2 1

170 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

0 V = {(x.y.z)€R*: -lśz<l+7^x:+y^: a x²+y²<y|,

g)    V = {(x,y,z)eR^j: 4x *+4y² £z£l6 a x²+y²+ x<0},

h)    V = {(x,y,z)eR^!: 0<z£x²+y² + l a x^; +y^: <4 a x£y<v3x)

i)    V = {(x.y,z)eR^ł: r + y^z<4A y£|x|},

j)    V«{(x.y,z)eR³: 9£z< x^: + y² < 16).

k)    V = |(x.y,z)eR¹: 0<z£3+siny a |x|<1 a |yj£rt},

l)    V = {(x.y,z)€R¹: Jz|<c' a |yj<ł-x<l|.

2. Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami:

a)    z = 3+x². z = 0. y = x-x^:, y=-x,

b) x+z-4= 0, z = 0, y=Vx. y=2Vx ,

c)    x + y+z-2 = 0, z = 0, y = 0. y = Vx,

d)    7=x^: + y^:-4. z=0,

c) z = y², z= -1, y=0. y = 2-x, y=2+x,

0z=2 + x^:ty^:, z = 0, x* + y² = 4,

g)    z = -3^x^: +y‘. z=0, x²+y² + y = 0,

h)    z = 5x^:+5y²-4, z=^x²+y² ,

i)    z=y, z=-y, x^: + y^:-4y=0,

j)    z=IO-x^:-9y\ z=l.

k) z=x²+y². z = 4. x²-fy² =9. x²+y² = ló.

l) z = x^:+y². z = 20. x^:+y^:=9, x^: + y^:=16.

3 Obliczyć pole płata powierzchniowego S. gdy

a)    płat S jest częścią płaszczyzny z = 2x+2y-13 wyciglą walcem x²+yⁱ-2x = 0,

b)    S= |(x,y.z)eR³: z = 2x-t-2y-13 a x² + y^: <y a y>|xj|.

c)    S=|(x,y,7.)eR³: z=_A/25-x^:-y^: a x²+y² < 16|, d) plal S jest tą częścią paraboloidy z=9-x²-y^:, której rzutem prostokątnymi na płaszczyznę Oxy jest pierścień określony nierównością l<x²+y² <2,

c) płat S jest częścią stożka z = I + y[x‘ f y' wyciętą walcem określonym rów nanicm x² + y² -4y+3=0,

0 płat Sjest wykresem funkcji z = 5+x^:, (x,y)€D, gdzie D = {(x.y)eR^:: |y)<x a x^J <2}.

g)    płat S jest tą częścią stożka z = l+\fx^: + y^: . której rzutem prostokątnym na płaszczyznę Oxy jest obszar

D=ł(x.y)eR^:: I<x²+y² <9 a y<|xl|,

h)    płat Sjest określony równaniem z = ^2xy , (x.y) eD. gdzie

D«{(_x,y)eR²: l<x<4 a 4<y<9|,

i)    płat S jest częścią powierzchni z = ^2xy wyciętą płaszczyznami y=l, y = x. x=4,

j)    S={(x,y.z)eR³: y = 2xz a 2£x^;+z²<6ł,

k)    płat S jest tą częścią stożka y= 1 +vx² -»-z² , której rzutem prostokątnym na płaszczyznę Oxz jest czworokąt

L) = {(x.z)eR²: l<x<2 a 2x<z<3x).

l)    płat Sjest określony równaniem y = Vz^: -x^: , (x.z)eD. gdzie

D = |(x,z)€R^: l£x<2 a 2x<z<3x}.

Odpowie	dii
-• -fi.	b) 24,	c) 32. d)	128 15 *	. 25* ^C)—*	^; 18 •	. 29* 8)—.
^wł-	i) 2tt .	J)^.	k) I2ir	. 1) *Hc-	2).
z .»f.	b)i2Ł ' 15	• -fi.	d) 8*	. 20 • ^C)T	. 0 I6it.	, 4 13n *>!• ^h1 —
i) Ifm .	j)^		. 1)	I05n 2 '