Matematyka 2 7

146 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

PRZYKŁAD 2.1. Obliczymy całki podwójne:

a)    jj(2y+6x^:)dxdy jeśli D = {(x.y)eR': x<y<2-xax>-1},

d

b)    J|2xy²dxdy. jeśli Djest obszarem ograniczonym lukami krzy-D

wych: y = x. y = l/^x - y = 2.

W każdym z tych przykładów obszar D jest obszarem normalnym względem obu osi (rys. 2.1 a) i b)), W punkcie a) obszar D zapiszemy jako normalny względem osi 0x. a w punkcie b) jako normalny względem osi Oy.

Rys 2.1

a) Obszar D zapisujemy nierównościami:

D = {(x,y)€R²: -1 < x< 1 a x< y< 2-x|

i obliczamy

i 2-x    I

JJ( 2y + 6x^: )dxdy= |[ J(2y-*-6x^: )dy]dx = Jly² +6x²y]J₌J“^xdx =

n    -i x    -i

1    1

= J((2-x)² + 6x^:(2-x)-x² - 6x^v)dx = j(4-4x + l2x²-12x^JHlx = 16.|

-I    -I

b) Ponieważ D = |(x,y) eR^:: l<y<2 a 1/y < x £ y). więc

PRZYKŁAD 2.2. Obliczymy następujące całki a) JJxdxdy. jeśli Djest obszarem ograniczonym odcinkami prostych: o

y = x-3, y = x +1, y=-x + 3, y--x + 7,

b) ||2xydxdy, gdy D = {(x,y)eR²:|xj<4 A0<y<3A x*+y^: £2x},

a) Obszar D (rys. 2.2 a)) jest normalny względem obu osi. przy czym D = D, u D,. gdzie

D, = l(x.y)eR^:: l<x<3A-x + 3<y<x + l|,

D₂ = Ux.y)eR^::3<x<5 a x-3<y<-x + 7}.

Ponieważ obszary Dj i Dj nic mają wspólnych punktów wewnętrznych. więc

3 x+i    5 -XV7

JJxdxdy= JJxdxdy+JJxdxdy= J| |xdy)dx+ Jf Jxdy]dx =

D    o,    D.    i -*0    3 *-3

= Jx(2x- 2)dx + Jx(-2x +10)dx - y + ■-y = 24

1    3

b) Obszar całkowania D przedstawiony jest na rysunku 2.2 b). Przyjmijmy oznaczenia

D, = {(x,y)eR²: 0<x£2 a 0śy<V2x-x²}.

D_: ={(x,y)eR²: -4^x<4a0^>'<3}.

Wówczas D₂ = D^D,. Ponieważ obszary DiD| nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, więc