Matematyka 2 9

148

111 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Jj2xydxtJ^= jj2xydxdy+ Jj2xydxdy,

n,

a stąd

j|2xydxdy = j*j2xydxdy- Jj2xydxdy= u    D.    D,

4 3    2 ^2x-x³    4    2

» J[ J2xydyjdx-J[ [2xydy]dx = |9xdx-J(2x²-x ‘ )dx = --y.

-4 0    0 0    -4    U

PRZYKŁAD 2.3. Obliczymy objętość |V| bryły ograniczonej powierzchniami, z = 0, z = x^:-ry\ y = x. y = 2x. x = 2.

Rysunek 2.3 przedstawia bryłę V oraz obszar płaski D. który jest prostokątnymi rzutem bryły V na płaszczyznę 0xy. Ponieważ

V = {(x,y.z) e R^J: 0£z<x^: + y² a (x,y)eD|,

D={(x.y)eR^:: 0<x<2 a x<y<2x}.

więc

2 2% 2

|V|= JJ(x^J > y^: )dxdy = J[ J(x^: 4-y^; )dy]dx = J[x²y+yy']^2xdx = n    o %    o

= J(2x³ +jx³-x³--jx³)d.x = ^y.    ■

o

Rys 2.3

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1 Naszkicować obszar DcR^:, który jest obszarem normalnym:

a) wzglądem obu osi, b) tylko względem osi 0x. c) tylko względem osi Oy

2.    Naszkicować obszar domknięty D ograniczony liniami: y = x² +4x, >-5 = 0. y+x=0 Czy jest to obszar normalny względem obu osi układu ?

3.    Obliczyć całkę j|xy^:dxdy. jeśli D jest obszarem ograniczonym

D

krzywymi:

a) x = 0, x = 2. y= 1. y = 3,    b) x = 1, x = 2, \y\- l/x,

c) y= I, y = 2, y|x|= 1,    d) y=x\ y=x².

4 Obliczyć całkę f|xc^,dxdy, jeśli D jest obszarem ograniczonym o

krzywymi:

a) x = 3. y = 0, y = lnx,    b) x — 1/3. y = 0, y =    lnx.

c)    y = 0, y = x. y = 2-x,    d)y=x², y=x.

5. Obliczyć całki podwójne:

\Jd) JJxdxdy Jeśli D = {(x.y)€R²: 2x-l<y£x a x>0}. d

b)    J[xdxdy .jeśli D = {(x,y)eR²: -x<y<2x-x²|.

D

C) JJ(2y + x)dxdy.jeśli D={(x,y)eR²: x^:-l£y<2-2x²}.

D

d)    JJe*dxdy.jeśli D={(x.y)eR²: x²-3x<y<x-x²}, o

e)    fj—dxdy. jeśli D = {(x,y)€R^;: 0£y£lnx a x£c}, o