Matematyka 2 1

180 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

12

(4r + l)5

-Mi

13

6

b) Okrąg x^: + y^: -9 opisujemy równaniami parametrycznymi x = 3cost, v = 3sint. te<0,2n>.

a następnie korzystając z twierdzenia 6.2 obliczamy:

,    2a

f 2 w |K x = 3cost. y=.Vmi. ie<0,2ji> i    ■» ,

x d/ =    .    •.    ,    , U 27cos' tdt =

[tx (0)‘My (t)r=(-3sint)* »(3cost)‘=9! J

27

■>

I j^2lł

t+—sin2t    = 27tt . ,

Jo

nvmi

c) F.lipsę K: x²/4+y*/l = I opisujemy równaniami parametrycz-x = 2cost, y = sinl, te<0.2rt>.

i obliczamy:

f ,    - d/

_Kijx² + \6y^:

K. x = 2cosu y=slni. ie<02!x> (,x‘(0)² +(y'(t)r ~4słti²1 • cos^: i

1 t-

- [ . ^^co--J—r—V4sin^:t+cos~t dt= |2cos²tdt = o \4cos² t + 16sin* t    ,,

=H^sin2,I ^=2,t-

PR7YKLAD 6.2 Obliczymy masę m odcinka K o końcach At 1.3). B(2,6), którego gęstość liniowa jest równa p(x,y)= xy.

Zgodnie ze wzorem (6.2) mamy

Analogicznie określa się i oblicza całkę krzywoliniową nieskie-rowaną funkcji f(x,y,/) po luku gładkim K w przestrzeni K Jeśli funkcja f( x,y,z) jest ciągła na łuku gładkim

K: x = x(t), y = y(t). z=z(t). te<u.p>. to

P    _

Jf(x,y,z)d/= Jf(x(t),y(t),4t))y(x^,(t))"+(y'(l))³+(7.'(t))*d!

K    a

PRZYKłAD 6.3. Obliczymy całkę J-d/ po łuku K okre-

k

Ślonym równaniami parametrycznymi x = t. y = v3t, z= l + t². te<0,l>

f~d/ -^{K; x=ł}-^z=u,:-    j_t

} ^z    -(y'(t))² -^Ł(/.'(t))² -4+4r f J l+t²

-1 -0

= f-~=di=: In/Tm⁷ = 2^2-2.

^jvTm^t

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

I. Obliczyć całki krzywoliniowe nicskierowanc;

a)    Jxy^:d/, jeśli K :x = -I + t.y = 1 + t,l e< 0.2 >.

K

b)    |^r-^7^d/ .jeśli K jest odcinkiem o końcach A(-2,l), B(0.3). C) JyV3+xd/ .jeśli K jest odcinkiem o końcach A(-2.2). R( 11).

K

d) j ^-d/. jeśli Kjest łamaną ABC o wierzchołkach A(-I.O),

K