Matematyka 2 1

120 11 Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Wyznaczymy najpierw punkty stacjonarne funkcji . to znaczy rozwiążemy układ równań z'_x=0. z*. = 0, czyli

(2x + x²-y*)c* =0.

-2ye* = 0.

Układ ten ma dwa rozwiązania: x = 0. y = 0 oraz x = -2, y = 0 Punkty Pi =(0,0) i p_:=(-2,0) są punktami stacjonarnymi badanej funkcji i jedynie w tych punktach funkcja ta może mieć ekstremu lokalne Obliczamy dalej:

W( x, y) = z';,7" -(z?_y)^J = -2(2 + 4x + _X^J+yV\ a następnie

W( p,) = W(0,0) = -4, W(p_:) = W(-2.0) = 4e ⁴.

Ponieważ W(0,0)<0. funkcja w punkcie p, =(0,0) ekstremum nic ma Natomiast W(-2.0)>0, więc funkcja ta ma ekstremum lokalne w punkcie p, =(-2,0) i jest to maksimum (gdyż z” (-2,0)=-2e"^: <0), przy czym z_m4X=z(-2,0) = 4e *\

b) Funkcja ta jest funkcją klasy C® (a więc również C^:) na zbiorze D=|(x,y)eR²: y> x²), przy czym

z’x = 3x^: -4x + y-x*	4=»-
„ ii a . 2y + 2x^:**a=^6* 4+ - (y-* )	i n vr

y-x*

2x

<y-x²)^J

^z» =

(y-x²)³

Rozwiązujemy układ równań: z'_x = 0. z'_y =0, czyli

3x*-4x +

2x

= 0.

y-x‘

I-

=o.

y-x

Układ ten dla (x.y) eD jest równoważny układowi:

J(3x* -4xXy-x^J)+2x = 0, ly-x² = l,

który ma dwa rozwiązania: x = 0, y=l oraz x = 2/3, y = 13/9. Łatwo sprawdzamy, że p,=(0,l)eD i p₂ =(2/3.13/9) eD. Punkty p, i p> są punktami stacjonarnymi badanej funkcji i jedynie w tych punktach funkcja ta może mieć ekstrema lokalne. Następnie znajdujemy wartość wyróżnika

W( X, y) = zj, (x, y)z^.(x. y) - (ę<x, y))² w punktach p, i p₂. Obliczamy kolejno:

*Ł(Pl>—*    z;V<Pl>=l’    *Ł<Pl>«°*

2»<P2)=34/9. Z^(Pi) = J.    4'y(P2) = ~⁴/³-

W(_P| )= W(0,l) = -2,    W(p,) = W(2/3,13/9) = 2.

Ponieważ W(0,1)<0, więc dana funkcja w punkcie p₍ = <0.1) ekstremum me ma . Natomiast W(2/3,13/9)>0, zatem funkcja ta ma ekstremum lokalne w punkcie p₂ =(2/3,13/9) i jest to minimum, gdyż z_xx(2/3.l3/9)>0. Na koniec obliczamy wartość badanej funkcji w punkcie p_: i otrzymujemy z*,,,, =z(2/3,13/9)= 23/27    ■

Wyznaczanie ekstremów absolutnych załóżmy, że dana jest funkcja dwóch zjniennych. ciągła na obszarze domkniętym i ogranicz, nym D. Z własności Weierstrassa funkcji ciągłych wynika, że funkcja ta osiąga na obszarze D swoją wartość najmniejszą i wartość największą ( ekstrema absolutne). Aby wyznaczyć te wartości, znajdujemy najpierw takie punkty wewnętrzne obszaru D. w których funkcja ta może mieć ekstrema lokalne (tzn. punkty stacjonarne oraz punkty, w których funkcja nic ma pochodnych cząstkowych). Następnie rozważamy daną funkcję na brzegu obszaru D (mamy wtedy do czynienia z funkcją jednej zmiennej) i znajdujemy punkty, w. których funkcja ta może osiągać wartość najmniejszą lub największą.

Wśród wyznaczonych w ten sposób punktów odnajdujemy już łatwo te, w których funkcja osiąga ekstrema absolutne na obszarze D.

PRZYKŁAD 6.4. Wyznaczymy ekstrema absolutne funkcji f na domkniętym obszarze D, gdy:

a) f(x,y)=3x-3y+xy-y², D={(x,y)eR²:-2 śx< 1 a-x -2 <y<0).