Matematyka 2 1

110 II. Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych

d²f = f”dx^: +2f"dxdy + f;;dy‘.

Analogicznie określamy różniczki wyższych rzędów:

dⁿf = d(dⁿ'^łf), n =23,... .

Przy założeniu, że funkcja f jesl klasy C" na obszarze D. a przyrosty dx i dy są ustalone, można udowodnić indukcyjnie, że

<¥

ax^n_,ay

³ W fiun

Wzór ten łatwo zapamiętać, gdy zapiszemy go w sposób umowny w postaci:

d"f = (^-dx + 4-dy)"”f dx r5y

Wprowadzone pojęcie różniczki funkcji dwóch zmiennych przenosi się łatwo na przypadek funkcji większej liczby zmiennych. Czy te ników zainteresowanych tym tematem odsyłamy do obszerniejszych podręczników

WZÓR TAYLORA. Wzór Taylora omawialiśmy już w pierw szym tomie (rozdz. 111. 4) dla funkcji jednej zmiennej. Obecnie podamy uogólnienie tego wzoru na przypadek funkcji dwóch zmiennych (przy odpowiednio zmienionych założeniach wzór ten może być zapisany w tej postaci dla funkcji większej liczby zmiennych).

TWIERDZENIE 5.4. ( Taylora). Jeżeli funkcja f zmiennych x i y jest klasy Cⁿ na pewnym otoczeniu U(p₀) punktu p₀ =(x₀,y₀) i pi p = (x₀ -⁴-dx.y_ll -4- dy) jest dowolnym punktem tego otoczenia, to istniej liczba 0 e(O.I) laka, ż.e

(5.8)    n_P)-f(Po>=^₊%^-^^.

gdzie R„ = ^Jydⁿf(p₀ + ()dp) oraz p_o + 0dp = (x_o + 0dx,y_o + 0dy).

Na przykład dla n = 2 i przy oznaczeniach dx = h, dy = k wl

(5.8)    przyjmuje postać

^f(x₀ + h.y₀ + k)-f(x₀,y₀)= f;(x₀.y₀)h + f;(x₀.y₀)k + R,,

gdzie

R_: = jd*!**, +0h.y„ +8k)=-[< f,"h³+2f"hk + r;k³).

przy czym pochodne f£, f^J.. fJJ, obliczone są w punkcie i x, +0h.v_o + 0k). a0 oznacza pewną liczbę z przedziału (0.1).

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1. Znaleźć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących funkcji:

a) f(x,y)= x²cosy+3y²sinx_t b) f(x,y) = xe"^2> + y^:,

^?c) f(x_ty)=arcsin^,    d) f(x,y) = aretg-^^,

A    A V

^X)

h) f(x,y) = x^y - lnx.

1

c) f(x.y) =

^x ZL_

' g) f(x.y) = yVy³-x^J.

i) f(x,y.z) = xe * + y³z,    j) f(x,y.z) = zaretg-^

2 Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie

Po. gdy: a) f(x,y) = x_>/y^J-3x, p₀ = (3.5).

b)    f(x,y)= xln(2y — l)-v^:, p₀ = (-l.I),

c)    f(x,y)=x^y-xlny, p₀ =(1.1).

d)    f(x.y.z) = xe ^2y + ye ³¹ +e\ p„ = (0.0.0).

3. Znaleźć pochodne cząstkowe drugiego rzędu następujących funkcji:

a) f(x,y) =^-ln( I — y²),    b)f(x,y) = x²-arctg^,

x    y

c) f(x_ty)«(y-x²)c‘^y,    d) f(x,y)= xe'^,y.

4- Obliczyć, o ile istnieją, pochodne £(0,0) i fy(0.0),gdy a) f(x.y) = _>/x²+y⁴.    b) f(x.y) = xVx^: +y² .