Matematyka 2 7

86 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

"dolna połowa" powierzchni walcowej, której kierownicą jest okrąg o równaniu y^:+(z-2)^: = l zawarty w płaszczyźnie Oyz. a tworzące są równoległe do osi 0x.

86 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

e) Funkcja

z = I + \y]y - x - \yjx- y

jest określona na zbiorze U=|(x,y)eR^:: y-x>0 a x-y<0[ = - ł(x,y) e R²: y = x) Oznacza to. że funkcja ta jest określona jedynie w tych punktach płaszczyzny Oxy. które leżą na prostej y = x, przy czym w każdym takim punkcie wartość funkcji jest równa 1.

Wykresem tej funkcji jest prosta o równaniach: x = t, v = t. / = I, t e R. Sporządzenie ry sunku pozostawiamy Czytelnikowi.

0 Funkcja

z=2+₁/-x^:-y^:

jest określona jedynie w punkcie (x,y) = (0,0) W konsekwencji wykres tej funkcji składa się z jednego punktu Jest to punkt P( 0,0,2).    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

c) X=R\ Y = R, 0 X = R\ Y = R^:.

I. Podać przykład funkcji f: X Y. gdy: a) X = R, Y = R, b) X = R. Y = R^:, d) X = R², Y = R\ e|X = R³,Y = R,

2. Wyznaczyć dziedzinę D (narysować ten zbiór i zapisać nierównością mil funkcji z = z(x,y). gdy:

- c) z-ln(4x-x^: -y^:) + xln(|x + l|-2). d) z = 3x² —^4—11 — y|.

n) z=xln(9-y^: )+^3-|y+l|.    o) z = yⁱarccos(l-|x^:-x|),

3.    Podać przykład funkcji z=z(x,y), której dziedziną naturalną jest zbiór D:

a) D= |(x,y)eR^:: y <x^: + l}, b) D= {(x,y)eR^:: y = x²}, c) D = {(x,y) eR^:: x^: +y^J-2x<;0}. d) D= {(1,0)}.

4.    Naszkicować wykres funkcji z = z(x,yh gdy:

a)z = 4-4y-2x,    b) z=2, gdyx^:+y²<l,

c) z = -x²-y²,    d) z = I - x^: -y²,

e)4z=x^: + 4y\    0 z = I⁺ \*² + y^:.

g) z = ^x^: + y² -2. h)z = 4-x\

i) z = y'-y. j)z = V4-x².