Matematyka 2 7

76 II Rachunek różniczkowy funkcji wieluzmiemwh

Wykażemy, że granicą lego ciągu (p_n) jest p„ - (1.0).

Istotnie, ponieważ

P(Pn-Po)=^^Lj^->)'    =“• ^neN*

więc

lim _/i(p_n.p₀)= lim — = 0.

n-fe    n-»* n

Oznacza to. zgodnie z definicją (2.11, żc p_n —► p₀.    ■

Dla ciągów, których wyrazy są elementami dowolnej przestrzeni metrycznej pozostają prawdziwe następujące twierdzenia, poznane już wcześniej dla ciągów o wyrazach rzeczywistych:

TWIERDZENIE 2.1. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg.

TWIERDZENIE 2.2. Ciągi różniące się skończoną liczbą wyrazów sit jednocześnie zbieżne (i mają wtedy tę samą granicę) lub jedno- ' cześmc rozbieżne

I WItRDZENIE 2.3. każd\ ciąg zbieżny jest ograniczony. Dowód Załóżmy, że ciąg (p_n) jest zbieżny i ma granicę p₀. Wówczas /)(p_n,p₀)-»0, czyli

A V A />(p„,Pn)< c.

c>0 K rt>K

7atem dla e-\ istnieje taka liczba KeN. żc dla n>K zachodzi nierówność p (p_n. p„) < 1.

Niech

r₀ = max (l,p<p,.p₀),/?(p₂,p₍₎).....p(p_K .p₀)}.

Stąd wynika, że p(p„,p₀)< r₀ dla ne.N.a w konsekwencji dla każdego n eN i r>r„ zachodzi warunek /5(p_n,p_(ł)< r, czyli

Pn ^gK(P₀.D-

Oznaeza to. żc ciąg (p_n) jest ograniczony.

przyjmijmy, że (p_n) jest ciągiem elementów przestrzeni R² Zatem

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGLI W PRZESTRZENI R^k Na początek

p_n=(x_n.y„). gdzie x„ gR. y_n gR. n sN Na przykład ciągi (p_n) i iqj.gdy

są takimi ciągami.

Podamy teraz twierdzenie, które pozwala nam problem obliczania granic takich ciągów sprowadzić do obliczania granic ciągów o wyrazach rzeczywistych

TWIERDZENIE 2.4. Załóżmy, że p_n =•(*„.y*) gR^:. n gN. i Po = (^x0.yo)^€^²- Wówczas

iimp_n=p₀ ^ (lim x_n = x_(J a limy_n=y₀).

D o w o d =>. Niech e będzie dowolnie ustaloną liczbą dodatnią. Ponieważ p„ ->p₀. więc

V A /j(p_n.p„)<£.

X n>K.

czyli

dla n>K.

Stąd wynika, że

|x_n ^— Xol< 6 i |y_a-y₀l<^ dla n > K.

Zatem

oraz

a to oznacza, żc x_n -> x₀ oraz y„ -> y₀.

Dowód <=. Niech e będzie dowolnie ustaloną liczbą dodatnią. Ponieważ x„ —► x₀ i y„ -> y₀. więc