Matematyka 2 1

80 II Rachunek różniczkowy funkcji wielu ;mtenn\l h

Funkcje postaci f D-»R. DrR^r (n>2) są funkcjami określonymi na pewnych podzbiorach przestrzeni R", żalem ich argumentami są punkty p=(x,,x_:.....x_n)eR" Funkcje takie nazywamy funk

cjami rzeczywistymi n zmiennych rzeczywistych i zapisujemy:

f(x,,x₂,....x,,)_t gdzie (x,,x_:.....x_n)eD lub krócej: f(p), gdzie

P = (x,,x_:.....x_n )eD .

PRZYKŁAD 3.1.

a)    Funkcje określone wzorami

f(x,y) = _>/|-x^: -y^:.    g(x,y,z) = z* — ln(I + x^: + y^:),

gdzie x,y,z oznaczają zmienne rzeczyw iste, są funkcjami o wartościach rzeczywistych odpowiednio dwóch i trz.ech zmiennych rzeczywistych, przy czym dziedziną funkcji f jest koło domknięte

D, = |(x.y I €R²: x^: + y^: < I}, a dziedziną Funkcji g jest zbiór D_: = R³.

b)    Funkcja określona wzorem

ąi(x.y) = < x--y-_t xy, V^{5 +} >^: ). (x,y)eR\

jest funkcją dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach z przestrzeni R\ Dla przykładu: <p( — 1.1) = (0.-1.a/6 ). <p(0,2) = (-4.0.3).

Funkcje, których wartości należą do zbioru R”, n > 1, nazywane są funkcjami wektorowymi.    ■

Obecnie zajmować się będziemy funkcjami o wartościach rzeczywistych n zmiennych rzeczywistych (nazywanymi krócej funkcjami wielu zmiennych), ze szczególnym uwzględnieniem funkcji dwóch zmiennych. Zatem przedmiotem naszych rozważań będą funkcje f: D —► R, Dc R\ gdy n>2

Funkcję określoną wzorem będziemy zawsze rozważać w dziedzinie naturalnej, chyba, że dziedzina będzie wyraźnie inaczej określona Przypomnijmy, ze dziedzina naturalna ftmkcji określonej wzorem jest to zbiór tych argumentów. dla których wzór ten ma sens.

PRZYKŁAD 3.2. Wyznaczymy dziedzinę D funkcji z = z(x.y) określonej wzorem:

a) z=Vx+V2-y, c) z = 3arccos(2y-3).

c)

l-ł-^4x-x^: -y •/y + 2x-x^:

b) z*1n(2-x)-yln(x-t-y), d) 7. — ln(2y - y“)+ ln(y — In x), yln(2 + x-x^:)

Oz

_B) zJ^2x~pI^Z

2 + yJy + x i) z = \yj-x^: -y^: .

h, /- ^l"<4y-x^:-r)_| \yj\~ + y~-2y

j) z = y/y-x-2_>/x-y.

a) Dziedziną tej funkcji jest zbiór DcR^: punktów (x.y)_f dla których x>0 i 2-y >0, czyli

D = |(x,y)gK²: x>0 a y<2}.

b)    D = {(x.y)€R^:- 2-x>0 a x-*-y>0}-

= ((x,y)eR^:: x<2 a y>-x). Zbiór D przedstawiony jest na rysunku 3.1 b).

c)    Dziedziną funkcji jest zbiór DcR^: punktów (x,y), dla których -l<2y-3<l,czyli l<y<2. Zatem (rys. 3.2 a))

D = |(x.y)eR^:: l<y<2).