Matematyka 2 3

112 II Rachunek różniczkowy’ funkcji wielu zmiennych

c) f(x,y) =

-y³

? i

X‘ + V*

(x,y)*(0.0). (x,y) = (0.0).

x³-y³

d) f(x,y) =

e) f(x,y) =

t-(x,y)*(0,0),

X‘ + V*

O,’    (x,y) = (0,0).

x^z-xyⁱ + 2y' + y‘

x' + y

1.

,    (x,y)*(0,0),

(x,y) = (0,0).

5 Wyznaczyć Ę i fj dla dowolnych (x,y) eR^:. gdy

(x.y)*(0.0). (x,y)= (0,0).

X³-/

2 ■» X + V

0.

T(x.y) =

6. Wykazać, żc funkcja

f(x.y)= ■ , ¹ - dla y²-x²*0 y*-x

3f    p,f

spełnia równanie różniczkowe: y + x-— = 0.

dx dy ¹

f(x.y)=

x² + y²

0.

(x,y)*(0,0), (x,y) = (0,0)

•V*    nr

spełnia równanie x4—+ y^- = 0 dla każdego (x.y)eR^:

8. Sprawdzić, że funkcja

x* -t-y"

f(x,y) = —

spełnia tzw równanie Laptace'a: —Ł- ₊ £__ ₌ q dj_a każdego

dx' dy*

(x.y)eR^J-{(0.0))

9 Korzystając z wyników zadania 5 obliczyć, o ile istnieją, pochodne I" , f". f" w punkcie p_o = (0.O) funkcji.

f(x.y) =

x³-/

+y

0.

(x.y)*(0.0). (x,y) = (0,0).

Odpowiedzi

I, a)C-2xcosy-j-3y³co5x, =-x^Jsłny-*-6yslnx_f b)fj=e^-2,t

tx|

- -2*c* *2y. c) r; =-7^. r; —p-^-|x|yx' -y x^x'-y*

_r- * _c) r -    ^2x>^: _r - ²*^:y o r- ^ln(l~^2y)

■' e.y^{r >ą} (x^: -y^J)^: * ’’    (x^:->V    ° ‘ x^Jy ’

r =_-J__^ln(|-.²Jj ny- -*>    r-²/-*³

’ (l-2y)xy xy^J    *    Jy¹ - x¹

* +y‘

. di f;

fy*-x* yy h) f* ^yx'"'-x‘‘. f; =x^J lnx, i)f;=c *. f* =3y²z, fJ=y^J-xc*.

j)n = ^^Lr. f;=-j^£Lr. ę = «cig£.

x^J+y^ł x +y    x

2 a) f*(3.5l-2V8. f,'(3,5)-1^4, H) f_%'( U) = 0. f;< l.l)=-4,

c> f;n.i)=i. r;ti.i)=-i. di ę(o.o.o> = 2. f;<o.o.oi = i. f;(o.o,0)»o.

3. a) f" =-=-lnll-v^Jl f* =_ii_ f" - ~~⁽1 *2_! h) f" -2 f” =0

^M x>* ^{y 1 v} x²(l — y²)    ”    x(l-y^:)^:*

r:

„    , • nT* c)G*-2e-». r;;-2xe-». f^-(-2 ₊ y-x^J)e-»_ł

d) f;, = y(xy 2)e-\ f; = x(xy - 2)'-". % - xV”.

4 a) f^(O.O) nie istnieje. f;(0,0) = 0. b) f,'(0.0) = 0. f;<0.0)= 0 ; cl rjCO.O) = 0. r;(0,0) nic istnieje; d) f_s'(0.0)= 1, f_y'(0,0) = -l;

ci r;(0.0) = o. f;(0,0) = 2.

⁵-    ':<*'?)=    dla(x.y)*<0,0), f;(0.0) = 1.

(x^ł * y*)*

f;<x.y)=^y(~^3>'^Xi"^y?^,~-^2x^ dla (x.y) * (0.0). f^(0.0>= -I.

(x* + yT

f'^(0,0) = 0, f^(0_f0) = 0,    (0,0) nic istnieje, f^(0,0) mc istnieje. *

1

Sprawdzić, że funkcja