Matematyka 2 7

126 II. Rachunek różniczkowy funkcji widu zmiennych

e) z=x^,-y³+3x*-3xy + 3x-3y. f) z = (y-x²)c"^y,

*

g) z = 6y - 3x -6xy + 3x^:-X¹ -y³. h) z = (l-x²-y^:)c ^yr

i

ł) 7- 1n(y + 2x)-2x-y², n) z— ln(4-y-x^:) + y.

m) z = xe ** ^y _f o) z = - + ln(x-y^:).

р)    z= 2y-sin^: y+(4x-x^ )cos'y, r) z = (x*+y²)²+ xy.

6. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji z = z(x,y) na obszarze domkniętym D. gdy:

a)    z = 2x^: -y^:-6x, D= {(x,y) eR²: x² +y² £9 a x>0},

b) z=2 + x-y-xy-y², D= {(x,y)€R^:: 0<x<l a 0<y < 1- x}

с)    z=2x³-y³-6x + 3y, U={(x.y)eR²: -2<x<0 a 0<y<2}

d) z=x³+6xy + y\    D = {(x,y)€R²: -1 < x < 1 a -1 <y<2},

c) z = 3x^: -y², D = {(x,y)eR²: x²+y^:<4},

0 z=2x³ -y³ -3x^:y + 6y, D = {(x,y)eR²: - l<x<l a 0<y<2},

g)    z =    D=((x.y)eR^!: I<xś2 a l<y<2},

x y

h)    z=ye^,I*^,I■^2,, D = )(x.y)eR^:: x³+y³<l).

i)    z = 2ln(x+y+2)-x+y³. D= {(x,y)eR^::0£y£ I a y-1 Sx< 1-y),

j) z=xe ^J,,‘^v, D = {(x,y)eR^:: x³ + y³Sl) a y>0}.

Odpowiedzi.

I Wsk Wystarczy wjkazać. że funkcja nie ma punktów stacjonarnych (tzn., źe układ t\ - 0. z’_; = 0 nic ma rozwiązań w dziedzinie danej funkcji) albo. gdy funkcja ma

punkt stacjonarny p₀,lo W(p_o)<0.

2.    Wsk Wysurczy sprawdzić, zc podany punki p_k nie jest punkiem stacjonarnym, tzn. z'(p_k)*0 lub z'(p_k)*0 albo, gdy podany punkt p_k jest punktem stacjonarnym funkcji, ze W(p_k )<0

3.    a) min. lok., b) max. lok., c) min lok d) ma*, lok., c)max. lok

4    ai min. lok w punkcie p_:, max. lok. w punkcie p_},

b) min. lok. \s punkcie p,. c) min. lok. w punkcie p,.

5. a) z_ffl* = 4 2,-l)=-2, b) z_mm = zt 1,1 ) = z(-1,-1 )=0 , c) = z(0-2)= I. d) z_wra = z(I.-l)=-l. c) =z(-2.l)=0. f) z_Iran=z<0.l)=l/e.

fil ⁷mm ⁼ *(“ l,-2) = -9 , h)Z_na,=Z<0.l-V2)=(2^-2)C^V--'. i) lnu, =2(1,1)** 3, j) niema, k)    -2,-1) = -3. I) z^ = 4-4/3.-2/3)=4/3e².

I) z^ = 41/4.1/2) =-3/4, m)    = 41/2.0) = l/27T,

z_mn = 4-1/2,0) =-1/2Te, n) /^, =40.3) = 3. ojnicma,

P) /_mtt-4l.‘j|+ka)=l + >/3 + ^2kK_t ktC. r) z_mm.*\/2j2.-l/2j2) = * \/zj2.\/2yf2 ) = -l/!6

6 a) wartość najmniejsza: 41,7#) =    I.—V8) — -12,

wartość największa: 7(0,0) - z(3.0) = 0,

b)    wartość najmniejsza: z(0.l) = 0, wartość największa /(1,0)-= 3.

c)    wartość najmniejsza: z(-2.2) = -6. wartość największa: z(-l. 1) = 6.

d)    wartość najmniejsza: 4-1.72) = -1    . wartość największa: 4U) = 21,

c) wartość najmniejsza: 40,-2)= 40,2) = -4,

wartość największa: 4-2,0) = 42,0) = 12,

0 wartość najmniejsza: 4-1,2) = -4, wanosć największa: 40,72 ) = 471 .

g)    wartość najmniejsza¹ 4U)=-1, wartość największa: 42,2)= 3,

h)    wartość najmniejsza: 40.-l) = -c\ wanosć największa: 4-73/2.1/2') =

= 473/2.1/2) = 1/2.

i)    wartość najmniejsza 4-1,0)= I, wartość największa. 40.1)= 1+ In9,

j)    wartość najmniejsza 4-1/2,0)= - l/27c .wartość największa: z< 1/2,0)- l/zTć