CCF20140319001

126 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

e) z = x³ - y³+ 3x²-3xy + 3x-3y, f) z = (y-x²)e ^y, g) z = 6y-3x-6xy + 3x²-x³ -y³, h) z = (l-x²-y²)e~^y,

ł) z = ln(y + 2x)-2x-y' n) z = ln(4-y-x²) + y,

р)    z = 2y-sin²y + (4x-x⁴)cos²y, r) z = (x² + y²)² + xy.

6. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji z = z(x,y) na obszarze domkniętym D, gdy:

a)    z = 2x² -y² -6x,    D={(x,y)eR²: x² + y²<9 a x>0},

b) z = 2 + x-y-xy-y², D = {(x,y) eR²: 0<x<l a 0<y<l-x}

с)    z = 2x³ - y³ - 6x + 3y, D= {(x,y) eR²: -2<x<0 a 0<y <2}

d)    z = x³ + 6xy + y³, D = {(x,y)eR²: -1<x<1 a — 1 < y<2},

e)    z = 3x² -y², D = {(x,y)eR²: x² + y² <4},

f)    z = 2x³ -y³ -3x²y+ 6y, D = {(x,y)eR²: - 1<x<1 a 0<y<2},

g)    z = xy-J---D = {(x,y)eR²: l<x<2 a 1 < y < 2},

x y

h)    z = ye*^2+y2~^2y, D = {(x,y)eR²: x² + y²<l},

i)    z = 21n(x+y+2)-x+y², D = {(x,y)eR²:0 <y< 1 a y-1 <x< 1-y},

j)    z = xe~^{2x _y} , D = {(x,y) eR²: x² +y² < 1} a y > 0}.

Odpowiedzi.

1. Wsk. Wystarczy wykazać, że funkcja nie ma punktów stacjonarnych (tzn., że układ z^ = 0, z'_y = 0 nie ma rozwiązań w dziedzinie danej funkcji) albo, gdy funkcja ma

punkt stacjonarny p₀ , to W(p₀)<0.

2.    Wsk. Wystarczy sprawdzić, że podany punkt p_k nie jest punktem stacjonarnym, tzn. z_x(p_k)*0 lub Zy(p_k)*0 albo, gdy podany punkt p_k jest punktem stacjonarnym funkcji, że W(p_k)<0.

3.    a) min. lok., b) max. lok., c) min. lok. d) max. lok., e) max. lok.

4.    a) min. lok. w punkcie p₂, max. lok. w punkcie p₃,

b) min. lok. w punkcie p₃, c) min. lok. w punkcie p,.

⁵- ^a) z_min = z(2,-l) =-2 , b) z_min =z(l,l)=z(-l,-l) = 0 , c) z_max = z(0,-2) = 1, ^d) ^zmin =z(l,-l) = -¹, e) z_max = z(—2,1) = 0 , f) z_max = z(0,l)=l/e,

g) z_min = z(-1,-2) = -9, h) z_max = z(0,l - fi) = (2^2 - 7)t^ri-' , i) z_min = z(l,l) = 3, j) nie ma, k) z_max = z(-2,-l)= -3 ,    1) z_max =z(-4/3,-2/3) = 4/3e²,

ł) z_max = z( 1/4,1/2) = — 3/4 , m) z_max = z(l/2,0)= l/2^, z_mia =z(-1/2,0) = -l/2Ve, n) z_max = z(0,3) = 3 , o) nie ma,

р)    ^zmax =z(l,^- + k7i) = l+V3+-| + 2k7t, keC,

r) z_min = z(l/2V2,-1/2-Jl) = z(-1/2>/2,l/2V2) = -1/16.

6. a) wartość najmniejsza: z(l,V8) =    = -12,

wartość największa: z(0,0) = z(3,0) = 0,

b) wartość najmniejsza: z(0,l) = 0, wartość największa: z( 1,0) = 3,

с)    wartość najmniejsza: z(-2,2) = -6, wartość największa: z(—1,1) = 6,

d)    wartość najmniejsza: z(-l,V2) = -l-4V2 , wartość największa: z(l,2) = 21,

e)    wartość najmniejsza: z(0,-2) = z(0,2) = -4, wartość największa: z(-2,0)= z(2,0)= 12 ,

f)    wartość najmniejsza: z(-l,2) = -4, wartość największa: z(0,V2) = 4yfl ,

g)    wartość najmniejsza: z(l,l) = — 1, wartość największa: z(2,2) = 3,

h)    wartość najmniejsza: z(0,-l) = -e³, wartość największa: z(—n/3^/2,1/2) =

= z( 1/3/2,1/2) = 1/2 ,

i)    wartość najmniejsza: z(—1,0) = 1, wartość największa: z(0,l)= 1 +ln9 ,

j)    wartość najmniejsza: z(-1/2,0) = -l/2Ve ,wartość największa: z(l/2,0)= l/2-\/e .