skanowanie0003(1)

ZADANIA Z ANALIZY I - Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

1.    Wykazać, że funkcja z=la(e^x + e^y) spełnia równanie

O²Z V^lZ _ t (l²Z \2

'ę®'    ■ ox8y '

2.    Przedstawić pochodną sjjfe w układzie biegunowym (r,0), gdzie**'= r • cos#, y = /• • sin#.

3.    Przekształcić wyrażenie

a²z _ ćPz _ 2 8²z a*² 8x8y dy²

wprowadzając nowe zmienne niezależne u *• Zr + y, v = y — x.

4.    Obliczyć pochodną funkcji fix,y) m - 8£f- w kierunku wektora tworzącego z osiami Ox i Oy kąty odpowiednio *|*?r i -Ł.

5.    Znaleźć pochodną funkcji fix,y) = arctg(^)

a.    w punkcie Poły, -y-) na okręgu o równaniu x² +y² - 2x = 0 w kierunku stycznej w punkcie Po do tego okręgu,

b.    w punkcie Pi(l, l) w kierunku gradientu funkcji f

6.    Obliczyć pochodną funkcji fix,y,z) = x² + 3xyz² —y² w punkcie P(I,-2,3)

a.    w kierunku wektora "z = [4,3,-5],

b.    w kierunku grad /(P).

7.    Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi równaniami we wskazanych punktach

a.    )ji+‘jc³-«y³+y^s; /*₀(1,1)

b.    JbiKfi? +|vf> = e* + e^y; Pi (0,0)

8. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni S*    + xz - 1 =4 0„ -< równoległej do płaszczyzny o równaniu x-y+2z — 0,

9.    Wykazać, że funkcja z =    +    gdzie jf^est dowolną funkcją

.różniczkowalną spełnia równanie x-^+y-^; = zjy + z.

Wyznaczyć macierze Jakobiego dla odwzorowań

a.    F(x) ~ (cosx. sin.t, cw)

b.    G(pc,y) = (fcW.cos*, ln(l +.e²4-y²),:>c + arctgy)

Obliczyć jakobian przejścia prostokątnych do współrzędnych

a.    walcowych: x = rcosąr,;, jr* rsimp, z = f; (r > 0, t e R, ęMSK 0,2* >)

b.    sferycznych: z = rsin#cosę>, y = rsin#sinę>, z = rcos#; (r > 0, ę e< 0,2* >, # e< 0,* >)

Napisać wzór Taylora dla funkcji/w otoczeniu punktu P dla danego n:

a.    , P{0,0) ,n=Ą,

b.    Ax,y) = (*-y)^ł ,i ^2,l) ,«•«* 3,

C. j(x,y) = sin(jc² -fy²) , P(0,0) , n = 3, d. f(x,y) = xsiny,P(0,n) ,n — 3 .

13.

Wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji:

a.    jfx,y) = sinzsiny,

b.    J(x>y,^z) =z³-y²-3z + 4y + z² + z-8.

Wyznaczyć ekstrema funkcji dwóch zmiennych:

14.