skanowanie0006

ZADANIA Z ANALIZY MATEM. I - funkcje uwikłane jednej zmiennej

1. Sprawdzić, czy równanie    x2^y - x²y² + (1 -x²) siny = O określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną y = y(x), ciągłą w otoczeniu punktu x₀ - 0 i spełniającą warunek y(0) *= 0.

2.    Uzasadnić, że równanie X² lny-y² lnx +1=0 określa w otoczeniu punktu P₀(l,e^_1) dokładnie jedną ciągłą funkcję uwikłaną y = y(x). Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie P_Q.

3.    Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji y = y(x) uwikłanej równaniem ln^ar +y² = arctgy w punkcie P_o(l,0).

4.    Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi niżej równaniami we wskazanych punktach:

a.    x+x³ =y³+y⁵; PoO»l)

b.    2 + x³ +y³ = e* + e^y; Pi(0,0)

5.    Narysować wykres funkcji y = y(x) uwikłanej równaniem x² - 2xy+y² + x +y - 2 = 0, spełniającej warunek y(l) = 0, w otoczeniu punktu x₀ = 1.

6.    Wykazać, że funkcja y == y(x) uwikłana równaniem x²+y² + lny= 1, spełniająca warunek y(0) = 1 osiąga w punkcie x₀ ~ 0 maksimum.

7.    Wykazać, że funkcja uwikłana y = y(x) spełniająca warunek

x² + 4y² - 2x - 16y + 13 = 0 osiąga w punkcie x₀ = 1 ekstremum o wartości 3. Określić jego rodzaj.

8.    Wykazać, że funkcja y = y(x) uwikłana równaniem arctgY -y - x + -f = 0 osiąga w punkcie x₀ = 1 minimum o wartości y₀ = -1-

9.    Narysować wykres funkcji y = y(x), uwikłanej równaniem (x-y)² + x+y-2 = 0

i spełniającej warunek y(l) = 0, w otoczeniu punktu x₀ = 1.

10.    Wyznaczyć ekstrema funkcji y = y(x) uwikłanej równaniem

a.    x³ ły³ - 3xy = 0

b.    (x²+y²)²=2(x²-y²)

c.    X² -- 2xy - 3y² + 4 = 0.

11.    Wyznaczyć ŚjL i —jeśli y(x) spełnia równanie:

b. y = x + lny

12.    Wykazać, że funkcja y(x) uwikłana równaniem x²+y² = /*² spełnia równanie różniczkowe yy' + x = 0.

13.    Wykazać, że funkcja y(x) o wartościach dodatnich, spełniająca warunek

y - lny -x = 0 jest rozwiązaniem równania różniczkowego yy' -y' ~y = 0.